Węzły Czebyszewa

W analizie numerycznej węzły Czebyszewa są specyficznymi rzeczywistymi liczbami algebraicznymi, mianowicie pierwiastkami wielomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju. Są często używane jako węzły w interpolacji wielomianowej, ponieważ wynikowy wielomian interpolacyjny minimalizuje efekt Rungego, czyli duże oscylacje wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału^[2]. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.

Dla danej liczby całkowitej ${\displaystyle n}$ węzły Czebyszewa w przedziale ${\displaystyle (-1,1)}$ to

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right),\quad k=1,\dots ,n.}$

Są to pierwiastki wielomianu Czebyszewa pierwszego rodzaju stopnia ${\displaystyle n.}$ Dla węzłów w dowolnym przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ można zastosować przekształcenie afiniczne:

${\displaystyle x_{k}={\frac {1}{2}}(a+b)+{\frac {1}{2}}(b-a)\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right),\quad k=1,\dots ,n.}$

Węzły Czebyszewa są ważne w teorii aproksymacji, ponieważ tworzą szczególnie dobry zestaw węzłów do interpolacji wielomianowej. Biorąc pod uwagę funkcję ${\displaystyle f}$ na przedziale ${\displaystyle [-1,+1]}$ i n punktów ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},}$ w tym przedziale, wielomian interpolacyjny jest unikalnym wielomianem ${\displaystyle P_{n-1}}$ stopnia co najwyżej ${\displaystyle n-1,}$ który ma wartość ${\displaystyle f(x_{i})}$ w każdym punkcie ${\displaystyle x_{i}.}$ Błąd interpolacji w ${\displaystyle x}$ jest równy

${\displaystyle f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}$

dla pewnego ${\displaystyle \xi }$^[3] Więc logiczne jest, aby próbować zminimalizować

${\displaystyle \max _{x\in [-1,1]}\left|\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\right|.}$

Ten produkt jest unormowanym wielomianem stopnia ${\displaystyle n.}$ Można wykazać, że maksymalna wartość bezwzględna (maksymalna norma) dowolnego takiego wielomianu jest ograniczona od dołu przez ${\displaystyle 2^{1-n}.}$ Ta granica jest osiągana przez skalowane wielomiany Czebyszewa ${\displaystyle 2^{1-n}T_{n},}$ które również są moniczne. Zauważmy, że ${\displaystyle |T_{n}(x)|\leqslant 1}$ dla ${\displaystyle x\in [-1,1]}$^[4]. Dlatego też, gdy węzły interpolacji ${\displaystyle x_{i}}$ są pierwiastkami ${\displaystyle T_{n},}$ błąd spełnia:

${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leqslant {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in [-1,1]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$

Dla dowolnego przedziału ${\displaystyle [a,b]}$ zmiana zmiennej pokazuje, że:

${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leqslant {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$

• Richard L.R.L. Burden Richard L.R.L., J. DouglasJ.D. Faires J. DouglasJ.D., Numerical analysis, wyd. 8, s. 503–512, ISBN 0-534-39200-8 .