Węzły Czebyszewa
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Chebyshev-nodes-by-projection.svg/220px-Chebyshev-nodes-by-projection.svg.png)
W analizie numerycznej węzły Czebyszewa są specyficznymi rzeczywistymi liczbami algebraicznymi, mianowicie pierwiastkami wielomianów Czebyszewa pierwszego rodzaju. Są często używane jako węzły w interpolacji wielomianowej, ponieważ wynikowy wielomian interpolacyjny minimalizuje efekt Rungego, czyli duże oscylacje wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału[2]. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.
Definicja
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/68/Chebyshev_Zeros.svg/220px-Chebyshev_Zeros.svg.png)
Dla danej liczby całkowitej węzły Czebyszewa w przedziale to
Są to pierwiastki wielomianu Czebyszewa pierwszego rodzaju stopnia Dla węzłów w dowolnym przedziale można zastosować przekształcenie afiniczne:
Aproksymacja
Węzły Czebyszewa są ważne w teorii aproksymacji, ponieważ tworzą szczególnie dobry zestaw węzłów do interpolacji wielomianowej. Biorąc pod uwagę funkcję na przedziale i n punktów w tym przedziale, wielomian interpolacyjny jest unikalnym wielomianem stopnia co najwyżej który ma wartość w każdym punkcie Błąd interpolacji w jest równy
dla pewnego [3] Więc logiczne jest, aby próbować zminimalizować
Ten produkt jest unormowanym wielomianem stopnia Można wykazać, że maksymalna wartość bezwzględna (maksymalna norma) dowolnego takiego wielomianu jest ograniczona od dołu przez Ta granica jest osiągana przez skalowane wielomiany Czebyszewa które również są moniczne. Zauważmy, że dla [4]. Dlatego też, gdy węzły interpolacji są pierwiastkami błąd spełnia:
Dla dowolnego przedziału zmiana zmiennej pokazuje, że:
Zobacz też
- Richard L.R.L. Burden Richard L.R.L., J. DouglasJ.D. Faires J. DouglasJ.D., Numerical analysis, wyd. 8, s. 503–512, ISBN 0-534-39200-8 .
Przypisy
- ↑ Lloyd N. Trefethen: Approximation Theory and Approximation Practice. SIAM, 2012.
- ↑ Kurtis D. Fink, John H. Mathews: Numerical Methods using MATLAB. Wyd. 3. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1999, s. 236–238.
- ↑ Afternotes on Numerical Analysis. A series of lectures on elementary numerical analysis presented at the University of Maryland at College Park and recorded after the fact. 1996. ISBN 978-0-89871-362-6. (20.3).
- ↑ Afternotes on Numerical Analysis. A series of lectures on elementary numerical analysis presented at the University of Maryland at College Park and recorded after the fact. 1996. ISBN 978-0-89871-362-6. , Lecture 20, § 14.