Wahadło sferyczne
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Spherical_pendulum_Lagrangian_mechanics.svg/220px-Spherical_pendulum_Lagrangian_mechanics.svg.png)
Wahadło sferyczne – punktowa masa zawieszona na nierozciągliwej nici zamocowanej w punkcie. Swobodę ruchu wahadła ogranicza tylko nić.
Wahadło sferyczne ma położenie równowagi, w którym nić wahadła jest pionowa[1].
Wahadło takie w ogólności porusza się po elipsie wykreślonej na powierzchni sfery ograniczającej ruch wahadła.
Historia
Pierwsze systematyczne prace nad badaniem ruchu wahadła sferycznego prowadził w drugiej połowie XVII wieku Christiaan Huygens. W swej pracy dotyczącej konstrukcji dokładnego zegara z wahadłem stożkowym wymienia kilkanaście związków między prędkością, promieniem, okresem ruchu wahadła stożkowego i ich znaczenie w praktycznej konstrukcji zegara[2].
W publikacji z 1735 roku Alexis Clairaut znajduje wyrażenia na małą zmianę położenia wahadła. Zapisuje wyrażenia całkowe na ruch wahadła sferycznego i wskazuje, że nie można ich rozwiązać analitycznie. Zapisuje wyrażenia na najmniejszą i największą wysokość wahadła w zależności od jego położenia i prędkości początkowej. Znajduje zależność czasu wahnięcia od wysokości maksymalnej wahadła. Rozwiązuje niektóre szczególne przypadki ruchu wahadła.
Postęp w analizie wahadła wnosi nowy formalizm analizy ruchu prowadzony przez Lagrange’a w 1788 roku. Choć nie zachowały się publikacje Lagranga opisujące rozwiązania wahadła, to autorzy podręczników z XIX w odsyłają do jego prac.
W XIX wahadło sferyczne nie wzbudzało większego zainteresowania. Było tylko kilka krótkich prac na jego temat. Jedną z nich były praca Puiseux z 1842 roku, w której autor koncentruje się na własnościach orbity, a nie na szukaniu pełnego rozwiązania. Udowadnia matematycznie, obserwowane własności orbity. Bez względu na parametry początkowe ruchu minimalna wysokość wahadła jest poniżej punktu zawieszenia (kąt większy od 90°). W płaszczyźnie poziomej ruchu wahadła opisuje elipsa, której osie obracają się (precesja) w tym samym kierunku w którym obciążnik obiega elipsę. W 1851 roku George Biddell Airy formułuje wzór na precesję wahadła[3], wykonuje eksperymenty z ruchem wahadła[4].
Richelot wydaje pracę, w której rozważa wahadło w przybliżeniu małych drgań jako równania i rozpatruje zaburzenia jego ruchu w wyniku wzrostu amplitudy, oporów.
Prawdopodobnie jako pierwszy w 1852 roku Tissot wprowadza nową teorię całek funkcji eliptycznych do opisu wahadła sferycznego.
Przybliżenie małego kąta wychyleń
Dla małych kątów wychyleń można przyjąć, że wówczas równania ruchu można opisać w kartezjańskim układzie współrzędnych:
Rozwiązania można zapisać jako:
gdzie:
W tym przybliżeniu wahadło takie bez względu na warunki początkowe wykonuje drgania z częstotliwością taką samą jak wahadło matematyczne.
Stałe ruchu A_x, A_y, określa się na podstawie warunków początkowych ruchu wahadła[1]. Przyjmując, że w chwili wahadło znajduje się w punkcie nawrotu (x <> 0, y = 0, Vx <> 0 i Vy = 0), to równania ruchu można zapisać:
Są to równania parametryczne elipsy o półosiach A i B. Wahadło porusza się po elipsie bez zmiany płaszczyzny osi elipsy.
Opis matematyczny
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/Pendule_spherique1.gif/220px-Pendule_spherique1.gif)
Położenie wahadła można opisać w kartezjańskim układzie współrzędnych lub w sferycznym o początku w punkcie zawieszenia wahadła. Oś z jest pionowa.
Związki między współrzędnymi[5]:
Energia potencjalna i kinetyczna wahadła:
Lagranżjan dla tego układu wynosi:
Pochodna względem szybkości zmiany kąta θ jest momentem pędu wahadła względem osi z i jest stała:
Równanie ruchu wahadła:
Z równania ruchu wynika:
W ogólności równania nie można rozwiązać metodami analitycznymi.
Wahadło proste
Jeżeli φ jest stałe, wówczas jego pochodna jest równa 0, skutkuje tym, że trzeci wyraz jest równy 0, wówczas równanie sprowadza się do równania wahadła matematycznego.
Wahadło takie porusza się w płaszczyźnie.
Wahadło stożkowe
Jeżeli wahadło nie zmienia swej odległości od punktu równowagi (θ jest stała), równanie sprowadza się do:
Co prowadzi do wyrażeń na częstość i okres wahadła:
Wahadło porusza się po poziomym okręgu, a powyższe równanie określa prędkość kątową ciała w tym ruchu. Promień okręgu wynosi:
Dla małych promieni częstość, a tym samym i okres drgań, jest taki jak dla wahadła prostego. W miarę wzrostu częstości rośnie wychylenie.
Precesja
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Pendule_spherique3.gif/220px-Pendule_spherique3.gif)
Przyjmując, że wahadło sferyczne jest zaburzonym wahadłem stożkowym, wprowadzając oznaczenie
gdzie:
- – częstość wahadła stożkowego.
Po rozłożeniu równania wahadła w szereg Taylora i pozostawiając jedynie wyrazy pierwszego stopnia, w przybliżeniu:
Rozwiązaniem tego równania jest:
gdzie:
Zatem kąt wykonuje prosty ruch harmoniczny o średniej wartości zmieniając się z częstością kątową
Teraz kąt jest zwiększony o
Kąt nachylenia względem pionowej, przechodzi pomiędzy kolejnymi maksimami i minimami. Jeżeli, jest mały, to jest nieco większa niż Skoro, jest nieco większa niż (90°) oznacza, że kształt ten precesuje wokół osi z w tym samym kierunku co obrót wahadła. Precesja wzrasta gdy kąt nachylenia wzrasta.
Dla wahadła poruszającego się prawie w płaszczyźnie, precesję określa przybliżony wzór na prędkość kątową obrotu osi elipsy (precesja Airy)[6]:
gdzie:
- – półosie elipsy,
- – przyspieszenie ziemskie,
- – częstość kołowa wahadła.
Zobacz też
Przypisy
- ↑ a b Frank C. Crawford: Fale. Warszawa: PWN, s. 31–34.
- ↑ Kathrin Fuchss: Periodic Orbit Bifurcations and Breakup of Shearless Invariant Tori in Nontwist Systems. 2006. [dostęp 2013-06-23]. [zarchiwizowane z tego adresu (2012-01-19)].
- ↑ Vibration of a Free Pendulum. [dostęp 2013-06-25]. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-03-04)].
- ↑ George Biddell Airy: Pendulum-experiments at harton pit. 1855. [dostęp 2013-06-25]. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-08-28)].
- ↑ Spherical Pendulum. [dostęp 2013-06-22].
- ↑ Richard Crane. Short Foucault pendulum. „Physics Departament. University of Michigan”, 1981-05-20. [dostęp 2013-06-08].
- Britannica: technology/spherical-pendulum