Wartość oczekiwana
Wartość oczekiwana (wartość średnia, przeciętna, dawniej nadzieja matematyczna) – pojęcie z rachunku prawdopodobieństwa oznaczające średnią, ważoną prawdopodobieństwem, wartość zmiennej losowej. Intuicyjnie, jest to spodziewany średni wynik doświadczenia losowego przy jego wielokrotnym powtarzaniu[1].
Wartość oczekiwana jest pierwszym momentem zwykłym.
Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.
Definicja formalna
Jeżeli jest zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej o wartościach w to wartością oczekiwaną zmiennej losowej nazywa się liczbę
Zmienna dyskretna
W przypadku, gdy zmienna losowa ma rozkład dyskretny i przyjmuje tylko skończenie wiele wartości z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio to z powyższej definicji wynika następujący wzór na wartość oczekiwaną [4]:
- [5].
Jeżeli zmienna przyjmuje nieskończenie, ale przeliczalnie wiele wartości, to we wzorze na jej wartość oczekiwaną występuje w miejsce (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg ten jest zbieżny bezwzględnie).
Oznaczenia
Wartość oczekiwaną najczęściej oznaczamy literą E w różnych stylizacjach: , lub ; z różnym zapisem nawiasów: , , . Innym popularnym oznaczeniem jest , zaś w fizyce powszechnie używa się oznaczeń , i [6].
Własności
Jeśli jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa to jej wartość oczekiwana wynosi
Jeżeli jest funkcją mierzalną, to
Jeśli istnieją oraz to:
- gdzie jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
- (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
- jeżeli są niezależne, to
- jeżeli prawie wszędzie, to
W mechanice kwantowej
Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator dla stanu kwantowego układu opisywanego znormalizowaną funkcją falową wynosi
gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.
W notacji Diraca wzór ten ma postać
Nieoznaczoność wartości oczekiwanej czyli wariancja wynosi
Przypisy
- ↑ Thomas P.T.P. Ryan Thomas P.T.P., Modern engineering statistics, Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 2007, ISBN 978-0-470-08187-7 [dostęp 2023-12-07] .
- ↑ J.J. Jakubowski J.J., R.R. Sztencel R.R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 82 .
- ↑ J.J. Jakubowski J.J., R.R. Sztencel R.R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 81 .
- ↑ Wartość oczekiwana, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-22] .
- ↑ J.J. Jakubowski J.J., R.R. Sztencel R.R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Warszawa 2010, s. 85 .
- ↑ WilliamW. Feller WilliamW., Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, Warszawa: PWN, 2007 (pol.).
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.
- GND: 4152930-3
- PWN: 3949733
- Britannica: topic/expected-value
- ЕСУ: 67449