Warunki Dirichleta

Warunki Dirichleta – warunki wystarczające, aby dowolna funkcja rzeczywista, określona na przedziale otwartym ${\displaystyle (a,b)}$ posiadała reprezentację w postaci szeregu Fouriera oraz posiadała transformatę Fouriera. Warunki te były sformułowane przez niemieckiego matematyka P.G.J. Dirichleta^[1].

Przypuśćmy, że funkcja rzeczywista ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$ jest określona na skończonym przedziale ${\displaystyle (a,b)}$ i spełnia dwa warunki (zwane warunkami Dirichleta)^[1]:

1. ${\displaystyle f(t)}$ jest przedziałami monotoniczna w przedziale ${\displaystyle (a,b)}$ - tzn. jest w nim ograniczona i można podzielić ten przedział na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja jest monotoniczna (czyli funkcja ta ma skończoną liczbę maksimów lokalnych i minimów lokalnych),
2. ${\displaystyle f(t)}$ jest ciągła w przedziale ${\displaystyle (a,b)}$ z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości spełniony jest warunek

   ${\displaystyle f(t_{0})={\tfrac {1}{2}}[f(t_{0+})+f(t_{0-})}$

Funkcja określona w przedziale domkniętym ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ i spełniająca w jego wnętrzu pierwszy i drugi warunek Dirichleta jest całkowalna w sensie Riemanna w tym przedziale. Funkcje spełniające pierwszy i drugi warunek Dirichleta w każdym przedziale skończonym na osi liczbowej są całkowalne w każdym przedziale skończonym. Przy założeniu dodatkowo zbieżności całki niewłaściwej

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }|f(t)|\;dt<+\infty }$

wynika stąd ponadto tzw. bezwzględna całkowalność w przedziale ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$, tzn. bezwzględna zbieżność całki

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;dt<+\infty }$

Uwagi:

1. Całkowalność funkcji, gwarantowana przez spełnienie warunków Dirichleta, jest istotnym wymogiem w obliczaniu szeregów Fouriera, bowiem współczynniki rozwinięcia w szereg Fouriera są wyrażone za pomocą całek. Ten sam wymóg dotyczy obliczania transformaty Fouriera z danej funkcji.
2. Dla funkcji okresowej (co typowo dotyczy obliczeń szeregów Fouriera) warunki Dirichleta wystarczy zbadać na dowolnym przedziale ${\displaystyle (a,a+T)}$ o długości równej okresowi funkcji ${\displaystyle T}$.
3. Warunki Dirichleta są to warunki wystarczające do tego, by dla funkcji, która je spełnia, istniał szereg Fouriera i całka Fouriera. Jednak nie są to warunki konieczne - istnieje klasa funkcji, które nie spełniają warunków Dirichleta, a mimo to mają szereg i całkę Fouriera - są to jednak funkcje niespotykane w praktycznych zastosowaniach.

• składowa harmoniczna

• W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka cz. IV, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1978, str. 351.

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].