Warunki Dirichleta
Warunki Dirichleta – warunki wystarczające, aby dowolna funkcja rzeczywista, określona na przedziale otwartym posiadała reprezentację w postaci szeregu Fouriera oraz posiadała transformatę Fouriera. Warunki te były sformułowane przez niemieckiego matematyka P.G.J. Dirichleta[1].
Warunki Dirichleta
Przypuśćmy, że funkcja rzeczywista jest określona na skończonym przedziale i spełnia dwa warunki (zwane warunkami Dirichleta)[1]:
- jest przedziałami monotoniczna w przedziale - tzn. jest w nim ograniczona i można podzielić ten przedział na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja jest monotoniczna (czyli funkcja ta ma skończoną liczbę maksimów lokalnych i minimów lokalnych),
- jest ciągła w przedziale z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości spełniony jest warunek
Funkcja określona w przedziale domkniętym i spełniająca w jego wnętrzu pierwszy i drugi warunek Dirichleta jest całkowalna w sensie Riemanna w tym przedziale. Funkcje spełniające pierwszy i drugi warunek Dirichleta w każdym przedziale skończonym na osi liczbowej są całkowalne w każdym przedziale skończonym. Przy założeniu dodatkowo zbieżności całki niewłaściwej
wynika stąd ponadto tzw. bezwzględna całkowalność w przedziale , tzn. bezwzględna zbieżność całki
Uwagi:
- Całkowalność funkcji, gwarantowana przez spełnienie warunków Dirichleta, jest istotnym wymogiem w obliczaniu szeregów Fouriera, bowiem współczynniki rozwinięcia w szereg Fouriera są wyrażone za pomocą całek. Ten sam wymóg dotyczy obliczania transformaty Fouriera z danej funkcji.
- Dla funkcji okresowej (co typowo dotyczy obliczeń szeregów Fouriera) warunki Dirichleta wystarczy zbadać na dowolnym przedziale o długości równej okresowi funkcji .
- Warunki Dirichleta są to warunki wystarczające do tego, by dla funkcji, która je spełnia, istniał szereg Fouriera i całka Fouriera. Jednak nie są to warunki konieczne - istnieje klasa funkcji, które nie spełniają warunków Dirichleta, a mimo to mają szereg i całkę Fouriera - są to jednak funkcje niespotykane w praktycznych zastosowaniach.
Przypisy
- ↑ a b W. Żakowski i W. Leksiński ↓, s. 351.
Zobacz też
- składowa harmoniczna
Bibliografia
- W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka cz. IV, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1978, str. 351.
Linki zewnętrzne
- Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].