Wykresy pierwszych czterech wielomianów Laguerre’a Wielomiany Laguerre’a – wielomiany o współczynnikach rzeczywistych zdefiniowane jako:
![{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{n}e^{-x}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3d76f89d7a504ca7ee569f9bb573b91a5123ce)
Funkcja generująca
Wielomiany Laguerre’a są współczynnikami przy potęgach
w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji:
![{\displaystyle g(x,z)={\frac {\exp \left(-{\frac {zx}{1-z}}\right)}{1-z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884c28640485431e544ec63999a8bc59c5c8190d)
Zachodzi zależność:
![{\displaystyle g(x,z)={\frac {\exp \left(-{\frac {zx}{1-z}}\right)}{1-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)z^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80a078fb196f701d754d99b1f2fe067f663fb6e6)
Własności
![{\displaystyle L_{n}(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3662d45ed9ae7f53a3a4f0ad4834821f2b72f7)
gdzie całkowanie odbywa się po dowolnym konturze zawierającym ![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![{\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d08880e618b24d47dc94cdc151d7ddc9759415)
![{\displaystyle x{\frac {dL_{n}(x)}{dx}}=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385c7377255d3bb920afa97b6593094fe4c6ceb6)
Zobacz też
Kontrola autorytatywna (funkcja specjalna):
- LCCN: sh85073969
- GND: 4293931-8
- BnF: 12390508z
- SUDOC: 03299155X
- BNCF: 38390
- BNE: XX5170103
- J9U: 987007550692005171
Encyklopedie internetowe:
- Britannica: topic/Laguerre-polynomial
- БРЭ: 2130770