Wielomiany trygonometryczne – klasa funkcji rzeczywisto-rzeczywistych bądź rzeczywisto-zespolonych, mająca szczególne znaczenie w analizie numerycznej oraz analizie fourierowskiej.
Definicja
Rzeczywistym wielomianem trygonometrycznym stopnia
nazywamy każdą funkcję postaci:
gdzie ![{\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{0\},\alpha _{j},\beta _{j}\in \mathbb {R} ,j\in \{0,\dots ,n\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614eea6f2d4c38d7cf50869b237a1e4d1468c4c5)
Analogicznie, zespolonym wielomianem trygonometrycznym stopnia
nazywamy każdą funkcję postaci:
gdzie ![{\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{0\},\alpha _{j},\beta _{j}\in \mathbb {R} ,j\in \{0,\dots ,n\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614eea6f2d4c38d7cf50869b237a1e4d1468c4c5)
Uwagi
Dla zespolonego wielomianu trygonometrycznego, jeśli ![{\displaystyle \bigwedge _{j\in \{0,\dots ,n\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d5a66040c7a549f4f4d85aefbef6b2ab30559d)
to na mocy wzoru Eulera:
![{\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}e^{\mathrm {i} jx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e73d919483a60524b2e5ecfadd2ba904d86e5e)
oraz
![{\displaystyle T_{2n}(x)=e^{\mathrm {i} nx}t_{n}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcbbde73aa24a34c5ec14f07c52dca15cc75fb0b)
W przypadku, gdy powyższa implikacja nie zachodzi, wielomian można przedstawić w postaci:
Zastosowanie
O wielomianach trygonometrycznych mówi twierdzenie:
Każda funkcja
ciągła i okresowa, o okresie
jest jednostajną granicą pewnego ciągu wielomianów trygonometrycznych.
Zobacz też