Współczynnik wypełnienia impulsu

Współczynnik wypełnienia impulsu – stosunek czasu trwania impulsu do okresu tego impulsu.

${\displaystyle k_{w}={\frac {\tau }{T}}.}$

Wyrażany jest w postaci ułamka (z zakresu od 0 do 1) lub w procentach. Jest określany dla sygnałów, które mają charakter okresowy. Współczynnik wypełnienia impulsu ma wówczas stałą wartość. Może się on zmieniać, gdy zmienia się sam sygnał.

Czas trwania impulsu łatwo jest określić dla sygnału o przebiegu prostokątnym, ewentualnie trójkątnym. W przypadku bardziej złożonych przebiegów można posłużyć się inną definicją współczynnika wypełnienia: jest to stosunek rzeczywistej mocy impulsu do mocy maksymalnej^{[potrzebny przypis]}.

Rzeczywista moc impulsu jest wówczas definiowana jako średnia moc impulsu po czasie (okresie). Jeżeli przebieg impulsu opisuje funkcja

${\displaystyle f(t),}$

wówczas jego moc zmienia się zgodnie ze wzorem

${\displaystyle P(t)=[f(t)]^{2},}$

a moc uśredniona po okresie ${\displaystyle T}$

${\displaystyle P_{s}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}{P(t)\operatorname {d} t}\quad \quad P_{s}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}{[f(t)]^{2}\operatorname {d} t}.}$

Moc maksymalna jest zdefiniowana jako moc sygnału stałego o największej amplitudzie, jaką osiąga dany impuls

${\displaystyle P_{0}=[f_{\max(}t)]^{2}.}$

Współczynnik wypełnienia można więc zapisać w postaci wzoru

${\displaystyle k_{w}={\frac {P_{s}}{P_{0}}},}$

${\displaystyle k_{w}={\frac {1}{TP_{0}}}\int \limits _{0}^{T}{P(t)\operatorname {d} t}.}$

Jeżeli przebieg czasowy impulsu nie da się wyrazić analitycznie przez funkcję ${\displaystyle f(t),}$ wówczas współczynnik wypełnienia może być obliczony metodami numerycznymi, na przykład Monte Carlo, lub oszacowany w inny sposób. Jeżeli znana jest postać funkcji ${\displaystyle f(t),}$ współczynnik można obliczyć analitycznie. Dla sygnału stałego w czasie współczynnik wypełnienia jest równy 1, dla sygnału impulsowego, w którym impulsy są bardzo krótkie, ${\displaystyle k_{w}\approx 0.}$

Jest to najłatwiejszy przypadek dla obliczania współczynnika wypełnienia, ponieważ wówczas

${\displaystyle \int \limits _{0}^{T}{P(t)\operatorname {d} t}=P_{0}\tau ,}$

gdzie τ jest czasem trwania pojedynczego impulsu. Wtedy wzór na współczynnik wypełnienia przyjmuje postać

${\displaystyle k_{w}={\frac {P_{0}\tau }{TP_{0}}}={\frac {\tau }{T}}.}$

Niech moc impulsu wyrażona jest wzorem

${\displaystyle P(t)=P_{0}|\sin(\omega t+\phi )|,}$

gdzie:

${\displaystyle \omega =\pi /T}$ – częstość kołowa (tutaj okres jest dwukrotnie mniejszy niż w przypadku funkcji ${\displaystyle /sin(t)}$),

${\displaystyle \phi }$ – faza początkowa.

Można obliczyć rzeczywistą moc impulsu

${\displaystyle P_{s}={\frac {P_{0}}{T}}\int \limits _{0}^{T}{|\sin(\omega t+\phi )|\operatorname {d} t},}$

${\displaystyle P_{s}=-{\frac {P_{0}}{T}}\cdot \left.{\frac {1}{\omega }}\cos(\omega t+\phi )\right|_{0}^{T},}$

${\displaystyle P_{s}=-{\frac {P_{0}}{T}}\cdot {\frac {T}{\pi }}(-2)={\frac {2P_{0}}{\pi }}.}$

Stąd współczynnik wypełnienia będzie miał wartość

${\displaystyle k_{w}={\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}637.}$