Bissetriz
A bissetriz (AO 1945: bissectriz) é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas concorrentes e, por consequência, divide um ângulo em dois ângulos congruentes.[1]
Tipos de bissetriz
Existem dois tipos de bissetriz:
- A bissetriz interna - que é a bissetriz do próprio ângulo
- A bissetriz externa - que é a bissetriz do ângulo formado por uma semi-reta que compõe o ângulo e pela semi-reta oposta à outra semi-reta, ou em outras palavras, é a bissetriz do ângulo suplementar a este.
Propriedades de uma bissetriz
- As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.
- Analogamente, as bissetrizes de dois ângulos replementares são semirretas opostas.
- As bissetrizes de dois ângulos suplementares são perpendiculares.
Construção com régua e compasso
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cc/Construction_of_bisection.svg/200px-Construction_of_bisection.svg.png)
- Traçado da bissetriz de um ângulo usando régua e compasso:
- Centre o compasso no ponto O e trace uma circunferência qualquer, a interseção com as semirretas determina os pontos A e B.
- Centre o compasso em A e trace um arco de circunferência maior do que a metade do segmento AB, a fim de evitar imprecisões.
- Centre o compasso em B e trace o mesmo arco anterior.
- A interseção dos arcos determina o ponto C.
- A bissetriz do ângulo O passa pelos pontos C e O.
Para a bissetriz de um ângulo côncavo
A bissetriz de um ângulo côncavo será a semirreta oposta à bissetriz do ângulo replementar deste.
Bissetrizes de um triângulo
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Triangle_cercles_exinscrits.png/200px-Triangle_cercles_exinscrits.png)
Um triângulo possui dois tipos de bissetrizes: bissetrizes internas e bissetrizes externas.
- As três bissetrizes internas do triângulo são concorrentes, e o ponto de encontro delas é o incentro, que é o centro da circunferência inscrita no triângulo, e este ponto também é equidistante de todos os lados do triângulo.
- É sabido também que duas bissetrizes externas de dois vértices diferentes, junto com a bissetriz interna do terceiro vértice do triângulo também são concorrentes e se encontram no exincentro dele, que é tangente a um lado do triângulo e aos prolongamentos dos outros dois lados deste triângulo.
Teorema da bissetriz interna
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Triangle_ABC_with_bisector_AD.svg/240px-Triangle_ABC_with_bisector_AD.svg.png)
O teorema da bissetriz interna diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz interna do ângulo A que determina sobre o segmento BC um ponto D, tem-se que os segmentos BD e CD formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente. Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz de A, e sendo D a intersecção entre a bissetriz e o lado BC, tem-se que:
Teorema da bissetriz externa
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Bisettrice_esterna.png/300px-Bisettrice_esterna.png)
O teorema da bissetriz externa diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz externa do ângulo A que determina sobre a reta do segmento BC um ponto H, tem-se que os segmentos BH e CH formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente.
Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz externa de A, e sendo H a intersecção entre a bissetriz e a reta do lado BC, tem-se que:
Referências
- ↑ Putnoki, José Carlos (1990). Elementos de geometria e desenho geométrico. [S.l.]: Scipione. Vol. 1
Bibliografia
- Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
- Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
- Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
- Mandarino, Denis - Desenho Geométrico, construções com régua e compasso. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007.
- Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
- Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.
Ver também
Ligações externas
- Alfred North Whitehead: An Introduction to Mathematics. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103197842, pp. 121 Mathematics Dictionary - R.C. James - Google Livros
- George Wentworth: Junior High School Mathematics: Book III. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103152360, pp. 265 Junior High School Mathematics - George Wentworth - Google Livros
- Robert Clarke James, Glenn James: Mathematics Dictionary. Springer 1992, ISBN 9780412990410, p. 255 Mathematics Dictionary - R.C. James - Google Livros