Cálculo com múltiplas variáveis (também conhecido como cálculo multivariável ) é a extensão do cálculo em uma variável ao cálculo em diversas variáveis: as funções as quais são diferenciáveis e integráveis envolvem várias variáveis ao invés de uma única variável.
Não é mais que a extensão do cálculo infinitesimal a funções escalares e vetoriais de várias variáveis, com tudo o que esta generalização implica.
Campo escalar com duas variáveis.
Cálculo diferencial em campos escalares e vetoriais
Funções de Rn em Rm . Campos escalares e vetoriais Formulando as definições para campos vetoriais, estas também sendo válidas para campos escalares. Seja
f : V ⟶ W {\displaystyle \mathbf {f} :V\longrightarrow W} um campo vetorial que faz corresponder a todo ponto P definido biunivocamente por sua vetor posição um vetor f ( O P ) {\displaystyle \mathbf {f} {\big (}\mathbf {OP} {\big )}} onde o ponto O é a origem de coordenadas .
V ⊆ R n , W ⊆ R m , {\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n},W\subseteq \mathbb {R} ^{m},} com n > 1 {\displaystyle n>1} e m ⩾ 1 {\displaystyle m\geqslant 1} . Quando m = 1 {\displaystyle m=1} temos um campo escalar . Para m > 1 {\displaystyle m>1} temos um campo vetorial . Utiliza-se a norma euclidiana para encontrar a magnitude dos vetores.
Limites e continuidade Sejam a ∈ R n {\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}} e b ∈ R m . {\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{m}.} Escrevemos:
lim x → a f ( x ) = b {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} } , ou ainda, f ( x ) → b {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\rightarrow \mathbf {b} } cuando x → a {\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} } para expressar o seguinte: lim ‖ x − a ‖ → 0 ‖ f ( x ) − b ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{{\big \|}\mathbf {x-a} {\big \|}\to 0}{\big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\big \|}=0} onde ‖ x ‖ {\displaystyle {\big \|}\mathbf {x} {\big \|}} é a norma euclideana de x {\displaystyle \mathbf {x} } .
Expresando-o em função das componentes de x = ( x 1 , … , x n ) , a = ( a 1 , … , a n ) , {\displaystyle \mathbf {x} ={\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )},\mathbf {a} ={\big (}a_{1},\ldots ,a_{n}{\big )},}
lim ( x 1 , … , x n ) → ( a 1 , … , a n ) f ( x 1 , … , x n ) = b {\displaystyle \lim _{{\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )}\to {\big (}a_{1},\ldots ,a_{n}{\big )}}\mathbf {f} {\big (}x_{1},\ldots ,x_{n}{\big )}=\mathbf {b} } ou, de forma equivalente,
lim x → a f ( x ) = b {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} } Dizemos que uma função f {\displaystyle \mathbf {f} } é contínua em a ⇔ lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \mathbf {a} \Leftrightarrow \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\big (}\mathbf {a} {\big )}} .
lim x → a f ( x ) = b , lim x → a g ( x ) = c ⇒ {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {c} \Rightarrow }
a) lim x → a [ f + g ] ( x ) = b + c {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big [}\mathbf {f} +\mathbf {g} {\big ]}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} +\mathbf {c} } b) lim x → a λ f ( x ) = λ b ∀ λ ∈ R {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda \mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\lambda \mathbf {b} \quad \forall \lambda \in \mathbb {R} } c) lim x → a ( f ⋅ g ) ( x ) = b ⋅ c {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} } (produto escalar de b {\displaystyle \mathbf {b} } com c {\displaystyle \mathbf {c} } ). d) lim x → a ‖ f ( x ) ‖ = ‖ b ‖ {\displaystyle \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big \|}={\big \|}\mathbf {b} {\big \|}} Sabemos que a) e b) no teorema se verificam se f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} são funções escalares. Portanto, se
b = ( b 1 , … , b m ) , c = ( c 1 , … , c m ) {\displaystyle \mathbf {b} ={\big (}b_{1},\ldots ,b_{m}{\big )},\mathbf {c} ={\big (}c_{1},\ldots ,c_{m}{\big )}} temos a ) f ( x ) = [ f 1 ( x ) , … , f m ( x ) ] , g ( x ) = [ g 1 ( x ) , … , g m ( x ) ] lim x → a ( f + g ) ( x ) = lim x → a [ ( f 1 + g 1 ) ( x ) , … , ( f m + g m ) ( x ) ] = [ lim x → a ( f 1 + g 1 ) ( x ) , … , lim x → a ( f m + g m ) ( x ) ] = [ lim x → a f 1 ( x ) + lim x → a g 1 ( x ) , … , lim x → a f m ( x ) + lim x → a g m ( x ) ] = ( b 1 + c 1 , … , b m + c m ) = ( b 1 , … , b m ) + ( c 1 , … , c m ) = b + c {\displaystyle {\begin{array}{rl}a)&\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} )={\big [}f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\big ]},\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} )={\Big [}g_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,g_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}\\&\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}\mathbf {f} +\mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big [}{\big (}f_{1}+g_{1}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,{\big (}f_{m}+g_{m}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}f_{1}+g_{1}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}f_{m}+g_{m}{\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )}+\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }g_{1}(\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}+\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }g_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\big (}b_{1}+c_{1},\ldots ,b_{m}+c_{m}{\big )}={\big (}b_{1},\ldots ,b_{m}{\big )}+{\big (}c_{1},\ldots ,c_{m}{\big )}=\mathbf {b} +\mathbf {c} \end{array}}} b ) lim x → a λ f ( x ) = lim x → a λ [ f 1 ( x ) , … , f m ( x ) ] = lim x → a [ λ f 1 ( x ) , … , λ f m ( x ) ] = [ lim x → a λ f 1 ( x ) , … , lim x → a λ f m ( x ) ] = [ λ lim x → a f 1 ( x ) , … , λ lim x → a f m ( x ) ] = λ [ lim x → a f 1 ( x ) , … , lim x → a f m ( x ) ] = λ ( b 1 , … , b m ) = λ b {\displaystyle {\begin{array}{rl}b)&\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda \mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda {\Big [}f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big [}\lambda f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lambda f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&{\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}={\Big [}\lambda \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lambda \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\\&\lambda {\Big [}\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{1}{\big (}\mathbf {x} {\big )},\ldots ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }f_{m}{\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\lambda {\big (}b_{1},\ldots ,b_{m}{\big )}=\lambda \mathbf {b} \end{array}}} c ) ( f ⋅ g ) ( x ) − b ⋅ c = [ f ( x ) − b ] ⋅ [ g ( x ) − c ] + b ⋅ [ g ( x ) − c ] + c ⋅ [ f ( x ) − b ] {\displaystyle c)\quad {\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ={\Big [}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big ]}\cdot {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big ]}+\mathbf {b} \cdot {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big ]}+\mathbf {c} \cdot {\Big [}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big ]}} Aplicando a desigualdade triangular e a desigualdade de Cauchy-Schwarz temos | ( f ⋅ g ) ( x ) − b ⋅ c | ⩽ ‖ f ( x ) − b ‖ ⋅ ‖ g ( x ) − c ‖ + ‖ b ‖ ⋅ ‖ g ( x ) − c ‖ + ‖ c ‖ ⋅ ‖ f ( x ) − b ‖ ⇒ 0 ⩽ lim ‖ x − a ‖ → 0 | ( f ⋅ g ) ( x ) − b ⋅ c | ⩽ lim ‖ x − a ‖ → 0 ‖ f ( x ) − b ‖ ⋅ lim ‖ x − a ‖ → 0 ‖ g ( x ) − c ‖ + ‖ b ‖ ⋅ lim ‖ x − a ‖ → 0 ‖ g ( x ) − c ‖ + ‖ c ‖ lim ‖ x − a ‖ → 0 ‖ f ( x ) − b ‖ = 0 ⋅ 0 + ‖ b ‖ ⋅ 0 + ‖ c ‖ ⋅ 0 = 0 {\displaystyle {\begin{array}{l}{\Big |}{\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} {\Big |}\leqslant {\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \|}\cdot {\Big \|}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \|}+{\big \|}\mathbf {b} {\big \|}\cdot {\Big \|}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \|}+{\big \|}\mathbf {c} {\big \|}\cdot {\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \|}\Rightarrow \\0\leqslant \lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big |}{\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} {\Big |}\leqslant \lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \|}\cdot \lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \|}+\\{\big \|}\mathbf {b} {\big \|}\cdot \lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {c} {\Big \|}+{\big \|}\mathbf {c} {\big \|}\lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\Big \|}=0\cdot 0+{\big \|}\mathbf {b} {\big \|}\cdot 0+{\big \|}\mathbf {c} {\big \|}\cdot 0=\\0\end{array}}} , como queríamos demonstrar. d ) g ( x ) = f ( x ) , c = b ⇒ lim x → a ‖ f ( x ) ‖ 2 = ‖ b ‖ 2 {\displaystyle d)\quad \mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )},\mathbf {c} =\mathbf {b} \Rightarrow \lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big \|}^{2}={\big \|}\mathbf {b} {\big \|}^{2}} , como queríamos demonstrar. Sejam f {\displaystyle \mathbf {f} } e g {\displaystyle \mathbf {g} } duas funções tais que a função composta f ∘ g {\displaystyle \mathbf {f} \circ \mathbf {g} } está definida em a {\displaystyle \mathbf {a} } , sendo
( f ∘ g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] {\displaystyle {\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}} g {\displaystyle \mathbf {g} } é contínua em a {\displaystyle \mathbf {a} } e f {\displaystyle \mathbf {f} } é contínua em g ( a ) ⇒ ( f ∘ g ) {\displaystyle \mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}\Rightarrow {\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}} é contínua em a {\displaystyle \mathbf {a} } . Sejam y = g ( x ) {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}} e b = g ( a ) {\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}} . Então,
lim ‖ x − a ‖ → 0 ‖ f [ g ( x ) ] − f [ g ( a ) ] ‖ = lim ‖ y − b ‖ → 0 ‖ f ( y ) − f ( b ) ‖ = 0 ⇒ lim x → a f [ g ( x ) ] = f [ g ( a ) ] {\displaystyle {\begin{array}{l}\lim _{{\big \|}\mathbf {x} -\mathbf {a} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}-\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big ]}{\Big \|}=\lim _{{\big \|}\mathbf {y} -\mathbf {b} {\big \|}\to 0}{\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {y} {\big )}-\mathbf {f} {\big (}\mathbf {b} {\big )}{\Big \|}=0\Rightarrow \\\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}=\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big ]}\end{array}}} como queríamos demostrar.
Derivadas direcionais
Derivada de um campo escalar em relação a um vetor Seja f : S ⊆ R n ⟶ R {\displaystyle f:S\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} } . Seja x {\displaystyle \mathbf {x} } um vetor cuja origem é a origem das coordenadas e cujo extremo ∈ S , {\displaystyle \in S,} e y {\displaystyle \mathbf {y} } um vetor arbitrário de R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . Definimos a derivada de f em x {\displaystyle \mathbf {x} } em relação a y {\displaystyle \mathbf {y} } como
f ′ ( x ; y ) = lim h → 0 f ( x + h y ) − f ( x ) h {\displaystyle f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-f{\big (}\mathbf {x} {\big )}}{h}}}
Derivadas parciais ∂ f ∂ x k = lim h → 0 f ( x 1 , … , x k + h , … , x n ) − f ( x 1 , … , x k , … , x n ) h {\displaystyle {\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}=\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}x_{1},\ldots ,x_{k}+h,\ldots ,x_{n}{\big )}-f{\big (}x_{1},\ldots ,x_{k},\ldots ,x_{n}{\big )}}{h}}}
Se derivamos a expressão anterior em relação a uma segunda variável, x j {\displaystyle x_{j}} , teremos ∂ 2 f ∂ x j ∂ x k {\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}} . Na prática, calcularemos ∂ f ∂ x k {\displaystyle {\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}} derivando em relação a x k {\displaystyle x_{k}} e supondo x j , ∀ j ≠ k {\displaystyle x_{j},\quad \forall j\neq k} constante.
A diferencial
Definição de campo escalar diferenciável Dizemos que f é diferenciável em a ⇔ {\displaystyle \mathbf {a} \Leftrightarrow }
∃ f L : R n ⟶ R | lim ‖ v ‖ → 0 f ( a + v ) = f ( a ) + f L ( v ) {\displaystyle \exists f_{L}:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} {\Big |}\lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to \mathbf {0} }f{\big (}\mathbf {a} +\mathbf {v} {\big )}=f{\big (}\mathbf {a} {\big )}+f_{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}} . f L {\displaystyle f_{L}} deve ser uma aplicação linear , que definimos como a diferencial de f em a . A equação anterior é a fórmula de Taylor de primeira ordem para f ( a + v ) {\displaystyle f{\big (}\mathbf {a} +\mathbf {v} {\big )}} .
Teorema de unicidade da diferencial f {\displaystyle f} é diferenciável em x {\displaystyle \mathbf {x} } com diferencial f L ( y ) ⇒ {\displaystyle f_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}\Rightarrow }
a) ∃ f ′ ( x ; y ) ∀ y ∈ R n {\displaystyle \exists f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}\quad \forall \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}} b) f ′ ( x ; y ) = ∑ k = 1 n y k ∂ f ∂ x k {\displaystyle f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\sum _{k=1}^{n}y_{k}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}} a ) v = h y , h ∈ R , lim ‖ v ‖ → 0 f ( x + v ) = lim ‖ v ‖ → 0 f ( x + h y ) = f ( x ) + f L ( h y ) = f ( x ) + h f L ( y ) ⇒ lim h → 0 f ( x + h y ) − f ( x ) h = f ′ ( x ; y ) = f L ( y ) {\displaystyle {\begin{array}{rl}a)&\mathbf {v} =h\mathbf {y} ,\quad h\in \mathbb {R} ,\\&\lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to \mathbf {0} }f{\big (}\mathbf {x} +\mathbf {v} {\big )}=\lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to \mathbf {0} }f{\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}=f{\big (}\mathbf {x} {\big )}+f_{L}{\big (}h\mathbf {y} {\big )}=\\&f{\big (}\mathbf {x} {\big )}+hf_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}\Rightarrow \\&\lim _{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-f{\big (}\mathbf {x} {\big )}}{h}}=f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=f_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}\end{array}}}
como queríamos demonstrar. b ) {\displaystyle b)} Expressando y {\displaystyle y} em função de seus componentes na base { e 1 , … , e n } , f L ( y ) = f L ( ∑ k = 1 n y k e k ) = ∑ k = 1 n y k f L ( e k ) = ∑ k = 1 n y k f ′ ( x ; e k ) = ∑ k = 1 n y k ∂ f ∂ x k {\displaystyle {\begin{array}{l}{\big \{}\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}{\big \}},f_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}=f_{L}{\big (}\sum _{k=1}^{n}y_{k}\mathbf {e} _{k}{\big )}=\sum _{k=1}^{n}y_{k}f_{L}{\big (}\mathbf {e} _{k}{\big )}=\sum _{k=1}^{n}y_{k}f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {e} _{k}{\big )}=\\\sum _{k=1}^{n}y_{k}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}\end{array}}} como queríamos demonstrar.
Regra da cadeia Seja f : S ⊂ R n ⟶ R {\displaystyle f:S\subset \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} } um campo escalar e x : J ∈ R ⟶ S {\displaystyle \mathbf {x} :J\in \mathbb {R} \longrightarrow S} . Definimos a função composta g = f ∘ x {\displaystyle g=f\circ \mathbf {x} } como g ( t ) = f [ x ( t ) ] {\displaystyle g(t)=f{\Big [}\mathbf {x} {\big (}t{\big )}{\Big ]}} , então g ′ ( t ) = ∑ k = 1 n ∂ f ∂ x k ⋅ d x k d t {\displaystyle \quad g'{\big (}t{\big )}=\sum _{k=1}^{n}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}\cdot {\cfrac {dx_{k}}{dt}}}
Diferencial de um campo vetorial Seja f : S ⊆ R n ⟶ R m {\displaystyle \mathbf {f} :S\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}} um campo vetorial. Seja x ∈ S {\displaystyle \mathbf {x} \in S} e y {\displaystyle \mathbf {y} } um vetor qualquer. Definimos a derivada
f ′ ( x ; y ) = lim h → 0 f ( x + h y ) − f ( x ) h {\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\lim _{h\to 0}{\cfrac {\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}{h}}} Expressando f ′ ( x ; y ) {\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}} em função de seus componentes, temos f ′ ( x ; y ) = [ f 1 ′ ( x ; y ) , … , f m ′ ( x ; y ) ] {\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}={\Big [}f'_{1}{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )},\ldots ,f'_{m}{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}{\Big ]}}
Dizemos que f {\displaystyle \mathbf {f} } é diferenciável ⇔ ∃ f L : R n ⟶ R m {\displaystyle \Leftrightarrow \exists \mathbf {f} _{L}:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}} , aplicação linear que verifica:
lim ‖ v ‖ → 0 f ( x + v ) = f ( x ) + f L ( v ) {\displaystyle \lim _{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to 0}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} +\mathbf {v} {\big )}=\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}+\mathbf {f} _{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}} . Esta é a fórmula de Taylor de primeira ordem para f . f L ( v ) = f ′ ( x ; v ) {\displaystyle \mathbf {f} .\quad \mathbf {f} _{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}=\mathbf {f} '{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {v} {\big )}} . A matriz de f ′ {\displaystyle \mathbf {f} '} é sua matriz jacobiana.
Diferenciabilidade implica continuidade Se um campo vetorial f {\displaystyle \mathbf {f} } é diferenciável em x ⇒ {\displaystyle \mathbf {x} \Rightarrow } é contínuo em x {\displaystyle \mathbf {x} } .
Se deduze facilmente da fórmula de Taylor de primeira ordem já vista.
Regra da cadeia para diferenciais de campos vetoriais Seja h ( x ) = ( f ∘ g ) ( x ) {\displaystyle \mathbf {h} {\big (}\mathbf {x} {\big )}={\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}} um campo vetorial definido e diferenciável em x {\displaystyle \mathbf {x} } . Sua diferencial h ′ ( x ) {\displaystyle \mathbf {h} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}} resulta ser
h ′ ( x ) = f ′ [ g ( x ) ] ∘ g ′ ( x ) {\displaystyle \mathbf {h} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} '{\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}\circ \mathbf {g} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}}
Condição suficiente para a igualdade das derivadas parciais mistas ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i ∀ i ≠ j ⇔ {\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}\quad \forall i\neq j\Leftrightarrow } ambas derivadas parciais existem e são contínuas em x {\displaystyle \mathbf {x} } .
Aplicações do cálculo diferencial
Cálculo de máximos, mínimos e "pontos de sela" para campos escalares Um campo escalar tem um máximo em x = a ⇔ {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} \Leftrightarrow } existe uma n -esfera B ( a ) | ∀ x ∈ B ( a ) f ( x ) ⩽ f ( a ) {\displaystyle B{\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}}
Um campo escalar tem um mínimo em x = a ⇔ {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} \Leftrightarrow } existe uma n -esfera B ( a ) | ∀ x ∈ B ( a ) f ( x ) ⩾ f ( a ) {\displaystyle B{\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}}
Um campo escalar tem um ponto de sela ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow }
∀ B ( a ) ∃ x | f ( x ) ⩽ f ( a ) ∧ ∃ x | f ( x ) ⩾ f ( a ) {\displaystyle \forall B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}\land \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}} . Função com um ponto de sela. Para saber se é um dos casos anteriores:
Obtemos x | ∂ f ∂ x k = 0 ∀ k | 1 ⩽ k ⩽ n {\displaystyle \mathbf {x} {\Big |}{\cfrac {\partial f}{\partial x_{k}}}=0\qquad \forall k{\Big |}1\leqslant k\leqslant n} Obtemos a matriz hessiana de f . Seja esta F ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}} . F ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}} é definida positiva ⇒ f {\displaystyle \Rightarrow f} tem um mínimo local (mínimo relativo ) em x {\displaystyle \mathbf {x} } . F ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}} é definida negativa ⇒ f {\displaystyle \Rightarrow f} tem um máximo local (máximo relativo ) em x {\displaystyle \mathbf {x} } . F ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}} é indefinida ⇒ f {\displaystyle \Rightarrow f} tem um ponto de sela em x {\displaystyle \mathbf {x} } . No exposto anteriormente, supomos que ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j {\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}} é contínua ∀ i , j | 1 ⩽ i ⩽ n , 1 ⩽ j ⩽ n {\displaystyle \forall i,j{\big |}1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant n}
Ver também Referências
Apostol, Tom M., Calculus , volumen 2, editorial reverté, S. A., ISBN 84-291-5003-X Portal da matemática