Conversor SEPIC

O conversor SEPIC (Single-Ended Primary-Inductance Converter) é um conversor CC/CC capaz de elevar ou abaixar a tensão. Além disso, o conversor SEPIC possui característica de fonte de corrente na entrada e característica de fonte de tensão em sua saída. A característica de fonte de corrente se dá pelo indutor em série com uma fonte de tensão, e a característica de fonte de tensão se deve ao capacitor paralelo à saída, que por motivos de análise, pode ser vista como uma fonte de tensão ^{[1] [2]}.

Outro ponto relevante do conversor SEPIC, é sua facilidade do seu isolamento, ou seja, inserir um transformador. Sua isolação galvânica é facilitada devido ao indutor "paralelo" à saída ^[1].

O conversor SEPIC, assim como outros conversores CC/CC, utiliza a modulação por largura de pulso ou PWM (Pulse Width Modulation). O que permite maior eficiência na transferência de energia para a carga, quando comparado à um regulador linear. Na modulação por largura de pulso, o chaveamento dos conversores pode ser visto como uma forma de controlar a tranferencia de energia elétrica ^[1]. Com isso, na literatura da eletrônica de potencia, frequentemente encontra-se termos como a razão cíclica ou duty cycle. A razão cícica, neste contexto, pode ser vista como uma fração do período de chaveamento em que a chave permanece fechada, sendo assim

${\displaystyle t_{on}=DT_{s}}$

em que ${\displaystyle t_{on}}$ corresponde ao período em que a chave está fechada, ${\displaystyle D}$ é a razão cíclica (que varia entre 0 e 1) e ${\displaystyle T_{s}}$ é o período da frequência de chaveamento. Por outro lado, pode-se tambem definir o complemento da expressão anterior ^[1][2].

${\displaystyle t_{off}=(1-D)T_{s}=D'T_{s}}$

O qual ${\displaystyle t_{off}}$ corresponde ao período em que a chave está aberta, portanto

${\displaystyle D+D'=1}$

Tendo em vista o uso do PWM, os conversores normalmente podem operar em três modos, o modo de condução contínua (MCC), modo de condução descontínua (MCD) ou no modo de condução crítica. Os modos de operação estão ligados à continuidade da corrente no indutor durante um período de chaveamento.

O quadro a seguir contém algumas das equações do conversor SEPIC no MCC.

Equações do conversor SEPIC no MCC

Variável	Equação
Ganho estático	${\displaystyle G={\frac {D}{1-D}}}$
Corrente média do indutor ${\displaystyle L_{1}}$	${\displaystyle I_{L_{1}}=I_{in}}$
Corrente média do indutor ${\displaystyle L_{2}}$	${\displaystyle I_{L_{2}}=I_{o}}$
Ondulação de corrente do indutor ${\displaystyle L_{1}}$	${\displaystyle \Delta I_{L_{1}}={\frac {V_{S}}{L_{1}}}DT_{s}={\frac {V_{S}-V_{C}-V_{o}}{L_{1}}}(1-D)T_{s}}$
Ondulação de corrente do indutor ${\displaystyle L_{2}}$	${\displaystyle \Delta I_{L_{2}}={\frac {V_{C}}{L_{2}}}DT_{s}={\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)T_{s}}$
Ondulação de tensão no capacitor intermediário ${\displaystyle C}$	${\displaystyle \Delta V_{C}={\frac {V_{o}D}{RCf_{s}}}}$
Ondulação de tensão no capacitor de saída ${\displaystyle C_{o}}$	${\displaystyle \Delta V_{o}={\frac {I_{o}DT_{s}}{C_{o}}}={\frac {V_{o}DT_{s}}{RC_{o}}}}$
Corrente média na chave	${\displaystyle I_{S_{W}}=I_{o}{\frac {D}{1-D}}=I_{in}}$
Corrente média na diodo	${\displaystyle I_{D}=I_{o}}$

O conversor SEPIC no MCC opera com duas etapas, em que a primeira etapa consiste no período ${\displaystyle t_{on}}$ com a chave fechada, e a segunda etapa o período ${\displaystyle t_{off}}$ com a chave aberta.

Durante a primeira etapa de operação do conversor SEPIC, há a magnetização dos indutores ${\displaystyle L_{1}}$ e ${\displaystyle L_{2}}$. Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões, é possível encontrar que, o indutor ${\displaystyle L_{1}}$ é magnetizado pela tensão de entrada

${\displaystyle L_{1}{\frac {di_{L_{1}}}{dt}}=V_{S}}$

e o indutor ${\displaystyle L_{2}}$ é magnetizado pela tensão do capacitor ${\displaystyle C}$.

${\displaystyle L_{2}{\frac {di_{L_{2}}}{dt}}=V_{C}}$

Pelas equações anteriores é possivel encontrar a corrente dos indutores. A corrente instantânea dos indutores podem ser dadas por:

${\displaystyle i_{L_{1}}(t)={\frac {V_{S}}{L_{1}}}t+I_{L_{1_{min}}}}$

${\displaystyle i_{L_{2}}(t)={\frac {V_{C}}{L_{2}}}t+I_{L_{2_{min}}}}$

Pelas equações das correntes nos indutores, é possivel determinar a ondulação de correntes ou ripple nos mesmos, pois a corrente cresce linearmente de seu valor mínimo (${\displaystyle I_{L_{min}}}$) até seu valor máximo (${\displaystyle I_{L_{max}}}$). O valor máximo é atingido no tempo ${\displaystyle t=DT_{s}}$.

${\displaystyle \Delta I_{L_{1}}=I_{L_{1max}}-I_{L_{1min}}={\frac {V_{S}}{L_{1}}}DT_{s}}$

${\displaystyle \Delta I_{L_{2}}=I_{L_{2max}}-I_{L_{2min}}{\frac {V_{C}}{L_{2}}}DT_{s}}$

Durante a primeira etapa, o capacitor de intermediário ${\displaystyle C}$ é descarregado, transferindo sua energia ao indutor ${\displaystyle L_{2}}$, sendo assim pode-se escrever a corrente no capacitor ${\displaystyle C}$ como:

${\displaystyle C{\frac {dv_{C}}{dt}}=-i_{L_{2}}(t)}$

Por sua vez, o capacitor de saída ${\displaystyle C_{o}}$ é descarregado na carga, e por simplificação da análise, a corrente no capacitor ${\displaystyle C_{o}}$ pode ser considerada constante e dada por:

${\displaystyle C_{o}{\frac {dv_{o}}{dt}}=-I_{o}}$

A segunda etapa de operação do conversor SEPIC consiste no período em que a chave está aberta ${\displaystyle (1-D)T_{s}}$, que ocasiona a polarização direta do diodo. Durante a segunda etapa há a desmagnetização dos indutores. Na segunda etapa, o indutor ${\displaystyle L_{1}}$ é desmagnetizado com a expressão mostrada a seguir.

${\displaystyle L_{1}{\frac {di_{L_{1}}}{dt}}=V_{S}-V_{C}-V_{o}}$

Já o indutor ${\displaystyle L_{2}}$ é desmagnetizado pela tensão de saída.

${\displaystyle L_{2}{\frac {di_{L_{2}}}{dt}}=-V_{o}}$

Sendo assim, a corrente dos indutores pode ser escrita como:

${\displaystyle i_{L_{1}}(t)={\frac {(V_{S}-V_{C}-V_{o})}{L_{1}}}t+I_{L_{1max}}}$

${\displaystyle i_{L_{2}}(t)=-{\frac {V_{o}}{L_{2}}}t+I_{L_{2max}}}$

Ao término da segunda etapa, a corrente dos indutores atinge o valor mínimo em ${\displaystyle t=(1-D)T_{s}}$, portanto pode-se escrever

${\displaystyle I_{L_{1min}}=-{\frac {(V_{S}-V_{C}-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)T_{s}+I_{L_{1max}}}$ ${\displaystyle I_{L_{2min}}=-{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)T_{s}+I_{L_{2max}}}$

Por meio das equações acima, também é possível determinar as ondulações de corrente nos indutores, sendo:

${\displaystyle \Delta I_{L_{1}}=I_{L_{1max}}-I_{L_{1min}}={\frac {(V_{S}-V_{C}-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)T_{s}}$

${\displaystyle \Delta I_{L_{2}}=I_{L_{2max}}-I_{L_{2min}}=-{\frac {V_{o}}{L_{1}}}(1-D)T_{s}}$

Em relação aos capacitores, durante a segunda etapa, a corrente no capacitor ${\displaystyle C}$ pode ser descrita como:

${\displaystyle C{\frac {dv_{C}}{dt}}=i_{L_{1}}(t)}$

E a corrente no capacitor de saída pode ser dada por:

${\displaystyle C_{o}{\frac {dv_{o}}{dt}}=i_{L_{1}}(t)+i_{L_{2}}(t)-I_{o}}$

Antes de prosseguir com os demais itens, é necessário determinar a tensão média no capacitor ${\displaystyle C}$. O valor de tensão média neste componente pode ser encontrado através da lei de Kirchhoff das tensões, sendo aplicada à malha que envolve os indutores e o próprio capacitor, tal como destacado na figura.

Pela análise, encontra-se a seguinte soma das tensões:

${\displaystyle -V_{S}+V_{L_{1}}+V_{C}-V_{L_{2}}=0}$

Sendo assim, sabendo que a tensão média em regime permanente dos indutores é nula, a tensão média em ${\displaystyle C}$ para o regime permanente pode ser dada por:

${\displaystyle V_{C}=V_{S}}$

O ganho estático do conversor SEPIC pode ser encontrado pela relação de tensão média no indutor, pois a tensão média no indutor em regime permanente é nula, desta forma pode-se escrever: ^[3][2]

${\displaystyle V_{L_{2}}={\frac {1}{T_{s}}}\left(\int _{0}^{DT_{s}}V_{C}\,dt+\int _{0}^{(1-D)T_{s}}-V_{o}\,dt\right)=0}$

${\displaystyle V_{L_{2}}=V_{C}D-V_{o}(1-D)=0}$

${\displaystyle V_{S}D-V_{o}(1-D)=0}$

Rearranjando-se os termos encontra-se o ganho estático.

${\displaystyle G={\frac {V_{o}}{V_{S}}}={\frac {D}{1-D}}}$

O ganho estático também pode ser obtido do mesmo modo através da relação de tensão no inditor ${\displaystyle L_{1}}$.

Dada a característica de fonte de corrente na entrada do conversor Cuk, ou seja um indutor em séria com a entrada, a corrente no indutor ${\displaystyle L_{1}}$ é a própria corrente média de entrada.

${\displaystyle I_{L_{1}}=I_{in}}$

A corrente média do indutor ${\displaystyle L_{2}}$ será a corrente média de saída, pois a corrente média no capacitor ${\displaystyle C}$ é nula, portanto a corrente média no indutor deverá ser a própria corrente média de saída ^[2].

${\displaystyle I_{L_{2}}=I_{o}}$

A corrente média no diodo (${\displaystyle I_{D}}$) pode ser encontrada através de sua integral:

${\displaystyle I_{D}={\frac {1}{T_{s}}}\int _{0}^{(1-D)T_{s}}i_{L_{1}}(t)+i_{L_{2}}(t)\,dt}$

${\displaystyle I_{D}={\frac {1}{2}}{\frac {(V_{S}-V_{C}-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}T_{s}+I_{L_{1max}}(1-D)-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)^{2}T_{s}+I_{L_{2max}}(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}={\frac {1}{2}}{\frac {(V_{S}-V_{C}-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}+{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)(1-D)}$

É possível simplificar a equação substituindo ${\displaystyle V_{C}=V_{S}}$ e deixar em função da ondulação de corrente (${\displaystyle \Delta I_{L}}$), deste modo encontra-se:

${\displaystyle I_{D}={\frac {1}{2}}{\frac {(-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{o}}{L_{2}}}(1-D)^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}+{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}=-{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{1}}(1-D)+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)-{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{2}}(1-D)+\left(I_{L_{2}}+{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}=(I_{L_{1}}+I_{L_{2}})(1-D)=(I_{in}+I_{o})(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}=\left(I_{o}{\frac {D}{1-D}}+I_{o}\right)(1-D)}$

${\displaystyle I_{D}=I_{o}}$

A corrente média na chave (${\displaystyle I_{sw}}$) também pode ser encontrada pela sua integral:

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{T_{s}}}\int _{0}^{DT_{s}}i_{L_{1}}(t)+i_{L_{2}}(t)\,dt}$

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}D^{2}T_{s}+I_{L_{1_{min}}}D+{\frac {1}{2}}{\frac {V_{C}}{L_{2}}}D^{2}T_{s}+I_{L_{2_{min}}}D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}-{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)D-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{C}}{L_{2}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}-{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)D}$

De forma semelhante à realizada para a corrente média no diodo, fazendo as substituições dos termos, deixando em função da ondulção de corrente (${\displaystyle \Delta I_{L}}$), a corrente média na chave pode ser dada por:

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{1}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{1}}-{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)D-{\frac {1}{2}}{\frac {V_{S}}{L_{2}}}D^{2}T_{s}+\left(I_{L_{2}}-{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}={\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{1}}D+\left(I_{L_{1}}-{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)D+{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{2}}D+\left(I_{L_{2}}-{\frac {\Delta I_{L_{2}}}{2}}\right)D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}=(I_{L_{1}}+I_{L_{2}})D=(I_{in}+I_{o})(D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}=\left(I_{o}{\frac {D}{1-D}}+I_{o}\right)D}$

${\displaystyle I_{S_{W}}=I_{o}{\frac {D}{1-D}}=I_{in}}$

A ondulação de tensão no capacitor de intermediário pode ser encontrada por meio da variação de carga no capacitor. A variação pode ser determinada através da integral da corrente durante uma das etapa, neste caso optou-se pela segunda etapa, sendo assim a corrente no capacitor é igual à corrente ${\displaystyle i_{L_{1}}}$.

${\displaystyle \Delta Q_{C}=\int _{0}^{(1-D)T_{s}}i_{L_{1}}(t)\,dt}$

${\displaystyle \Delta Q_{C}={\frac {1}{2}}{\frac {(V_{S}-V_{C}-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}{T_{s}}^{2}+I_{L_{1_{max}}}(1-D)T_{s}={\frac {1}{2}}{\frac {(-V_{o})}{L_{1}}}(1-D)^{2}{T_{s}}^{2}+\left(I_{L_{1}}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}\right)(1-D)T_{s}}$

${\displaystyle \Delta Q_{C}=-{\frac {1}{2}}\Delta I_{L_{1}}(1-D)T_{s}+I_{L_{1}}(1-D)T_{s}+{\frac {\Delta I_{L_{1}}}{2}}(1-D)T_{s}}$

${\displaystyle \Delta Q_{C}=I_{L_{1}}(1-D)T_{s}}$

A plicando na equação:

${\displaystyle \Delta V_{C}={\frac {\Delta Q_{C}}{C}}}$

${\displaystyle \Delta V_{C}={\frac {I_{L_{1}}(1-D)T_{s}}{C}}={\frac {I_{in}(1-D)T_{s}}{C}}={\frac {I_{o}{\frac {D}{1-D}}(1-D)T_{s}}{C}}}$

${\displaystyle \Delta V_{C}={\frac {I_{o}DT_{s}}{C}}={\frac {V_{o}D}{RCf_{s}}}}$

Por fim, a ondulação de tensão de saída pode ser determinada da mesma forma como feita para o conversor boost. Sendo assim, a ondulação de tensão no capacitor de saída pode ser encontrada pela variação de carga, sabendo que:

${\displaystyle \Delta Q_{C_{o}}=\Delta V_{o}C_{o}}$ → ${\displaystyle \Delta V_{o}={\frac {\Delta Q_{C_{o}}}{C_{o}}}}$

sendo ${\displaystyle \Delta Q}$ a variação de carga no capacitor, ${\displaystyle \Delta V_{o}}$ é a variação de tensão de saída e ${\displaystyle C_{o}}$ é a capacitância. A variação de carga no capacitor pode ser considerada a integral da corrente no capacitor durante uma das etapas de operação. Desta forma, optando pela primeira etapa, que por simplificação da análise, pode-se considerar a corrente constante, a integral da corrente neste período será

${\displaystyle \Delta Q_{C_{o}}=I_{o}DT_{s}}$

Aplicando este resultado na equação anterior

${\displaystyle \Delta V_{o}={\frac {I_{o}DT_{s}}{C_{o}}}={\frac {V_{o}DT_{s}}{RC_{o}}}}$

Referências