Corpo (matemática)

Em matemática, um corpo é um anel comutativo com unidade em que todo elemento diferente de 0 possui um elemento inverso com relação à multiplicação.

Mais formalmente, um anel comutativo ${\displaystyle F}$ com unidade é chamado de corpo se:

${\displaystyle (\forall x\in F\setminus \{0\})(\exists y\in F):x.y=1.}$

Resulta da comutatividade de ${\displaystyle F}$ que o ${\displaystyle y}$ da definição anterior também satisfaz a condição ${\displaystyle y.x=1.}$ Por outro lado, só pode haver um único ${\displaystyle y}$ naquelas condições. De facto, se ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle y'}$ forem tais que ${\displaystyle x.y=x.y'=1,}$ então

${\displaystyle y=y.1=y.(x.y')=(y.x).y'=1.y'=y'.}$

Este elemento ${\displaystyle y}$ designa-se por inverso de ${\displaystyle x}$ e representa-se por ${\displaystyle x^{-1}.}$

Um corpo ${\displaystyle F}$ não tem divisores de zero. Efectivamente, se ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ forem dois elementos de ${\displaystyle F}$ diferentes de ${\displaystyle 0}$ então ${\displaystyle x.y}$ ≠ ${\displaystyle 0,}$ pois

${\displaystyle x^{-1}.(x.y)=(x^{-1}.x).y=1.y=y}$ ≠ 0.

Mas se se tivesse ${\displaystyle x.y=0,}$ então ter-se-ia ${\displaystyle x^{-1}.(x.y)=0.}$

• Os números complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$^[1] e seus subcorpos, entre os quais:
  • o corpo dos números racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} ;}$^[1]
  • o corpo dos números algébricos;
  • o corpo dos números reais ${\displaystyle \mathbb {R} .}$^[1]
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2},}$ o menor corpo, formado pelos números ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 0,}$ em que ${\displaystyle 1+1=0.}$ Este conjunto com as operações de adição e multiplicação satisfaz todos os axiomas de anel, é comutativo e tem unidade. Além disso, como em qualquer anel com unidade, ${\displaystyle 1}$ é o elemento inverso de ${\displaystyle 1.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ onde p é um número primo. Como conjunto,

${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}}$

A adição e a multiplicação são assim definidas: se se quer adicionar (respectivamente multiplicar) em ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ então ${\displaystyle a+b}$ (respectivamente ${\displaystyle a.b}$) é o resto da divisão por ${\displaystyle p}$ da adição (respectivamente multiplicação) dos números inteiros ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b.}$

• os números hiperreais, uma extensão de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ que inclui infinitesimais.
• os números surreais^[2]

< H : ${\displaystyle {a+b{\sqrt {2}}},+,\cdot }$ >

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n},}$ quando ${\displaystyle n}$ não é um número primo, não é um corpo, pois tem divisores de zero.
• Os quaterniões não formam um corpo, porque a multiplicação não é comutativa.

Dado um corpo ${\displaystyle F,}$ considere-se a sucessão ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1+1,}$ ${\displaystyle 1+1+1,}$ … Há duas possibilidades.

• Todos os termos da sucessão são diferentes de ${\displaystyle 0.}$ Diz-se então que o corpo ${\displaystyle F}$ tem característica ${\displaystyle 0.}$
• Alguns termos da sucessão são iguais a ${\displaystyle 0.}$ Diz-se então que o corpo ${\displaystyle F}$ tem característica ${\displaystyle p,}$ onde ${\displaystyle p}$ é o menor número natural tal que ${\displaystyle 1+1+}$ ··· ${\displaystyle +1}$ (${\displaystyle p}$ vezes) = 0.

O corpo dos números complexos e os seus subcorpos têm característica ${\displaystyle 0;}$ para cada número primo ${\displaystyle p,}$ o corpo Z_p tem característica ${\displaystyle p.}$

Se um corpo tem característica ${\displaystyle p>0,}$ então ${\displaystyle p}$ é um número primo. De facto, a função

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}f\colon &\mathbb {N} &\longrightarrow &F\\&n&\mapsto &{\stackrel {n{\text{vezes}}}{\overbrace {1+1+\cdots +1} }}\end{array}}}$

é tal que se ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ são números naturais, então ${\displaystyle f(m.n)=f(m).f(n).}$ Por outro lado, se ${\displaystyle F}$ tiver característica ${\displaystyle p,}$ então ${\displaystyle f(p)=0.}$ Se ${\displaystyle p}$ não fosse primo, tinha-se ${\displaystyle p=m.n,}$ com ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ números naturais menores do que ${\displaystyle p,}$ pelo que ${\displaystyle 0=f(p)=f(m.n)=f(m).f(n).}$ Mas então ${\displaystyle f(m)=0}$ ou ${\displaystyle f(n)=0.}$ Isto é impossível pois, por definição, ${\displaystyle p}$ é o menor número natural tal que ${\displaystyle f(p)=0.}$

Se um corpo F tem característica p (em que p é zero ou um número primo), então existe um subcorpo ${\displaystyle K\subseteq F}$ e um isomorfismo de corpos ${\displaystyle \phi :\mathbb {Q} \to K}$ (p = 0) ou ${\displaystyle \phi :\mathbb {Z} _{p}\to K}$ (p primo). Além disso, o subcorpo K e o isomorfismo φ são únicos.

Seja ${\displaystyle S}$ um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. Então é possível mergulhar ${\displaystyle S}$ num corpo ${\displaystyle F.}$ Basta definir em ${\displaystyle S}$ × ${\displaystyle (S}$ \ ${\displaystyle \{0\})}$ a seguinte relação de equivalência ∼:

${\displaystyle (a,r)}$ ∼ ${\displaystyle (b,s)}$ se e só se ${\displaystyle a.s=b.r.}$

Se ${\displaystyle (a,r)}$ for um elemento de ${\displaystyle S}$ × ${\displaystyle (S}$ \ ${\displaystyle \{0\}),}$ seja ${\displaystyle [(a,r)]}$ a sua classe de equivalência. Seja ${\displaystyle F}$ o conjunto das classes de equivalência. Podem-se então definir os seguintes elementos de ${\displaystyle F}$ e as seguintes operações:

• ${\displaystyle 0=[(0,1)];}$
• ${\displaystyle 1=[(1,1)];}$
• ${\displaystyle [(a,r)]+[(b,s)]=[(a.s+b.r,r.s)];}$
• ${\displaystyle [(a,r)].[(b,s)]=[(a.b,r.s)].}$

Então ${\displaystyle F}$ é um corpo e a função

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}S&\longrightarrow &F\\a&\mapsto &[(a,1)]\end{array}}}$

é uma função injectiva de ${\displaystyle S}$ em ${\displaystyle F.}$ O corpo ${\displaystyle F}$ designa-se por corpo de fracções do anel ${\displaystyle S.}$^[3]

Exemplos:

• O corpo dos números racionais é o corpo de frações do anel dos números inteiros.
• Seja ${\displaystyle A}$ um aberto conexo não vazio de C. As funções holomorfas de ${\displaystyle A}$ em C formam um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero. O seu corpo de fracções é o corpo das funções meromorfas de ${\displaystyle A}$ em C.

• Teoria dos corpos
• Corpo topológico, em que a estrutura de espaço topológico deve ser tal que garanta a continuidade de várias operações do corpo
• Corpo ordenado, em que existe uma relação de ordem total compatível com as operações de corpo

Notas e referências

• Jacobson, Nathan (1985). Basic algebra (em inglês). 1. New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0716714809