Desigualdade de Aristarco

A Desigualdade de Aristarco é uma lei da trigonometria que afirma que se α e β são ângulos agudos (ou seja, entre 0 e um ângulo reto) e "β < α" então

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.}$

Essa lei leva esse nome em homenagem ao matemático grego Aristarco de Samos, que fez tal afirmação.

Ptolomeu usou a primeira dessas desigualdades ao construir sua tabela de acordes^[1].

A prova matemática dessa lei é consequência das desigualdades mais conhecidas , e ${\displaystyle 0<\sin(\alpha )<\alpha <\tan(\alpha )}$, ${\displaystyle 0<\sin(\beta )<\sin(\alpha )<1}$ and ${\displaystyle 1>\cos(\beta )>\cos(\alpha )>0}$.

Prova da primeira desigualdade

Usando essas desigualdades, podemos primeiro provar que

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\beta )}}<{\frac {\alpha }{\beta }}.}$

Notamos primeiro que a desigualdade é equivalente a ${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}}$ que pode ser reescrito como ${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.}$

Agora queremos mostrar isso

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<\cos(\beta )<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}.}$

A segunda desigualdade é simplesmente ${\displaystyle \beta <\tan \beta }$. O primeiro é verdadeiro porque

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}={\frac {2\cdot \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{\alpha -\beta }}<{\frac {2\cdot \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cdot \cos(\beta )}{\alpha -\beta }}=\cos(\beta ).}$

Prova da segunda desigualdade

Agora queremos mostrar a segunda desigualdade, ou seja, que:

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.}$

Notamos primeiro que, devido às desigualdades iniciais, temos que:

${\displaystyle \beta <\tan(\beta )={\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )}}<{\frac {\sin(\beta )}{\cos(\alpha )}}}$

Consequentemente, usando aquele ${\displaystyle 0<\alpha -\beta <\alpha }$ na equação anterior (substituindo ${\displaystyle \beta }$ por ${\displaystyle \alpha -\beta <\alpha }$) obtemos:

${\displaystyle {\alpha -\beta }<{\frac {\sin(\alpha -\beta )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta ).}$

Concluimos que

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\alpha -\beta }{\beta }}+1<{\frac {\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )}{\sin(\beta )}}+1={\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.}$

Referências

• Leibowitz, Gerald M. «Hellenistic Astronomers and the Origins of Trigonometry» (PDF) 
• Prova da primeira desigualdade
• Prova da segunda desigualdade