Distância entre duas retas paralelas

A distância entre duas retas paralelas no plano é a distância mínima entre quaisquer dois pontos.

Fórmula e demonstração

Como as retas são paralelas, a distância perpendicular entre elas é uma constante, portanto não importa qual ponto é escolhido para medir a distância. Dadas as equações de duas retas paralelas não verticais na forma reduzida

y = m x + n 1 {\displaystyle y=mx+n_{1}\,}
y = m x + n 2 , {\displaystyle y=mx+n_{2}\,,}

a distância entre as duas linhas é a distância entre os dois pontos de interseção dessas linhas com a linha perpendicular

y = − x / m . {\displaystyle y=-x/m\,.}

Essa distância pode ser encontrada resolvendo os sistemas lineares

{ y = m x + n 1 y = − x / m   , {\displaystyle {\begin{cases}y=mx+n_{1}\\y=-x/m\ ,\end{cases}}}

e

{ y = m x + n 2 y = − x / m {\displaystyle {\begin{cases}y=mx+n_{2}\\y=-x/m\,\end{cases}}}

para obter as coordenadas dos pontos de intersecção. As soluções dos sistemas lineares são os pontos

( x 1 , y 1 )   = ( − n 1 m m 2 + 1 , n 1 m 2 + 1 ) , {\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-n_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {n_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,}

e

( x 2 , y 2 )   = ( − n 2 m m 2 + 1 , n 2 m 2 + 1 ) . {\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-n_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {n_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.}

A distância entre os pontos é

d = ( n 1 m − n 2 m m 2 + 1 ) 2 + ( n 2 − n 1 m 2 + 1 ) 2 , {\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {n_{1}m-n_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{2}-n_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}

que se reduz a

d = | n 2 − n 1 | m 2 + 1 . {\displaystyle d={\frac {|n_{2}-n_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}

Quando as linhas dadas são da forma geral

a x + b y + c 1 = 0 {\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}
a x + b y + c 2 = 0 , {\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}

a distância entre elas pode ser expressa como

d = | c 2 − c 1 | a 2 + b 2 . {\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}

Ver também

  • Distância de um ponto a uma linha

Referências

  • Abstand In: Schülerduden – Mathematik II . Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 2004,ISBN 3-411-04275-3, pp. 17-19 (em alemão)
  • Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra . Diesterweg, 1988,ISBN 3-425-05301-9, pág. 298 (em alemão)

Ligações externas

  • Florian Modler: Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung – Wann welche Formel?, pp. 44-59 (em alemão)
  • AJ Hobson: “APENAS AS MATEMÁTICAS” - UNIDADE NÚMERO 8.5 - VETORES 5 (Equações vetoriais de retas), pp. 8-9