Elipse inscrita de Steiner
Em geometria, a elipse inscrita de Steiner[1] de um triângulo é a única elipse inscrita do triângulo que é tangente aos lados em seus ponto médios. É um exemplo de cônica inscrita. Por comparação, o círculo inscrito de um triângulo é outra cônica inscrita que é tangente aos lados, mas não necessariamente aos ponto médios. A elipse inscrita de Steiner é atribuída por Dörrie a Jakob Steiner,[2] e uma prova de sua unicidade é fornecida por Kalman.[3]
A elipse inscrita de Steiner contrasta com a elipse circunscrita de Steiner, também chamada simplesmente de elipse de Steiner, que é a única elipse que toca um triângulo dado em seus vértices e cujo centro é o centroide do triângulo.[4]
Propriedades
O centro de uma elipse inscrita de Steiner é o centroide do triângulo — a intersecção das medianas do triângulo.[1][5]
A elipse inscrita de Steiner de um triângulo tem área maior do que qualquer outra elipse inscrita desse triângulo; como a maior elipse inscrita, ela é o elipsoide de John do triângulo. Sua área é vezes a área do triângulo.[5][6] Assim sua área é um quarto da elipse circunscrita de Steiner.
Notas
- Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Steiner inellipse», especificamente desta versão.
Referências
- ↑ a b Weisstein, E. "Steiner Inellipse" — From MathWorld, A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html.
- ↑ H. Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution (trans. D. Antin), Dover, New York, 1965, problem 98.
- ↑ Kalman, Dan (2008), «An elementary proof of Marden's theorem» (PDF), American Mathematical Monthly, 115 (4): 330–338, MR 2398412, consultado em 19 de maio de 2012, cópia arquivada (PDF) em
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(ajuda) 🔗 . - ↑ Weisstein, Eric W. «Steiner Circumellipse». MathWorld (em inglês)
- ↑ a b Chakerian, G. D. (1979), «A distorted view of geometry», in: Honsberger, Ross, Mathematical plums, The Dolciani Mathematical Expositions, 4, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, pp. 135–136, 145–146 .
- ↑ Minda, D.; Phelps, S. (2008), «Triangles, ellipses, and cubic polynomials» (PDF), American Mathematical Monthly, 115 (8): 679–689, MR 2456092 .