Equação hiperbólica em derivadas parciais

Uma equação hiperbólica em derivadas parciais de segunda ordem é uma equação diferencial parcial do tipo

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+C{u}_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\quad }$

na qual a matriz ${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\end{bmatrix}}}$ é negativa definida.

A equação diferencial parcial é hiperbólica em um ponto P desde que o problema de Cauchy da condição de fronteira seja unicamente solúvel numa vizinhança de P para quaisquer dados iniciais numa hipersuperfície não-característica passando por P.^[1] Aqui os dados iniciais prescritos consistem de todas as derivadas (transversais) da função na superfície até uma ordem a menos do que a ordem da equação diferencial.

Um exemplo de uma equação diferencial parcial hiperbólica é a equação da onda:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{v_{x}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{v_{y}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial y^{2}}}-{\frac {1}{v_{z}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial z^{2}}}=0}$ ^[2]

Referências

• Equação diferencial parcial
• Equação elíptica em derivadas parciais
• Equação parabólica em derivadas parciais
• Método de separação de variáveis

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