Em matemática, sobretudo na análise funcional e na teoria das equações diferenciais, os espaços de Hölder espaços vectoriais formados por funções contínuas que apresentam certas condições adicionais de regularidade. O espaço tem esse nome em homenagem ao matemático alemão Otto Hölder.
Mais do que simplesmente classes de regularidade, os espaços de Hölder por si mesmos possuem propriedades algébricas importantes: são espaços normados completos na métrica induzida por sua norma, ou seja, são espaços de Banach.
Definições
Seja
um conjunto aberto e
um número real. Uma função
é dita Hölder-contínua com expoente
se existir uma constante real
tal que:
![{\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|\leq C|x-y|^{\gamma },\ \ \forall \ x,y\in U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e7dc1f95d9111f221e83bec63be5e8ddf90987)
Em particular, observe que, para
, o critério coincide com o de função Lipschitz contínua.
Nestas condições, podemos definir a
-ésima semi-norma de Hölder como:
![{\displaystyle [f]_{C^{0,\gamma }(U)}=\sup _{\stackrel {x,y\in U}{x\neq y}}{\dfrac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\gamma }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5ad6c255669e3b9317e3f940402efd4f2c4b19)
Além disso, perceba também que se
for ainda uma função limitada em
, então a norma do supremo está bem definida
![{\displaystyle \|f\|_{C^{0}(U)}=\sup _{x\in u}|f(x)|<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe78c45a9f68200eb773805372b87b9568d6a296)
Logo, a
-ésima norma de Hölder é definida como
![{\displaystyle \|f\|_{C^{0,\gamma }(U)}=\|f\|_{C^{0}(U)}+[f]_{C^{0,\gamma }(U)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a9d0956b8837ac463eec1d26d4f9dc07640990)
O espaço de Hölder
consiste de todas as funções
que pertencem ao espaço
das funções k vezes continuamente diferenciáveis para as quais a norma
![{\displaystyle \|f\|_{C^{k,\gamma }(U)}=\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }f\|_{C^{0}(U)}+\sum _{|k|=\alpha }[D^{\alpha }f]_{C^{0,\gamma }(U)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806d1ae2f363cfbddacf82d650cd00d3ff4c9fb3)
é finita, onde
é um multi-índice cuja ordem é dada por
e sua derivada de ordem
é determinada por
![{\displaystyle D^{\alpha }f(x)={\frac {\partial ^{|\alpha |}f(x)}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c7f1860c531fa2dd08964678e67a2f91f0cff5)
Exemplos
A função
definida em
é Hölderiano para cada um
.
Referências
- Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. [S.l.]: American Mathematical Society, Providence. ISBN 0-8218-0772-2
- Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, ISBN 3-540-41160-7, New York: Springer .