Espectro (matemática)

Em matemática, o espectro de uma matriz ${\displaystyle M}$ é o conjunto ${\displaystyle \Sigma (M)}$ dos autovalores de ${\displaystyle M}$. Pode-se definir, em geral, o espectro de um elemento qualquer de uma álgebra de Banach.

Definição

Seja ${\displaystyle (A,+,*,\mathbb {C} )}$ uma álgebra de Banach complexa munida com uma identidade multiplicativa ${\displaystyle I}$. Definimos o espectro de um elemento ${\displaystyle a\in A}$ por

${\displaystyle \sigma (a)=\{\lambda \in \mathbb {C} {\mbox{ tal que }}a-\lambda I\notin inv(A)\}.}$

onde ${\displaystyle inv(A)}$ é o conjunto dos elementos invertíveis de ${\displaystyle A}$.

Exemplo 1

Seja ${\displaystyle A=M_{n}(\mathbb {C} )}$ a álgebra das matrizes quadradas de ordem n, com entradas complexas e munidas com a seguinte norma:

${\displaystyle \|A\|=\inf\{c:\|Av\|\leq c\|v\|{\mbox{ para todo }}v\in M_{n}(\mathbb {C} )\}.}$

Para uma matriz ${\displaystyle M}$, segue da definição que ${\displaystyle \sigma (M)}$ coincide com o conjunto dos autovalores de ${\displaystyle M}$, isto é, o conjunto dos ${\displaystyle \lambda }$'s em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ que satisfazem ${\displaystyle det(M-\lambda I)\neq 0}$.

Exemplo 2

Seja ${\displaystyle X}$ um espaço topológico de Hausdoff compacto. A norma do supremo

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup \left\{\,\left|f(x)\right|:x\in \ X\right\},}$

define uma estrutura de álgebra de Banach sobre a álgebra das funções a valores complexos sobre ${\displaystyle X}$, espaço denotado por ${\displaystyle C(X,\mathbb {C} )}$, ou simplesmente ${\displaystyle C(X)}$.

Em ${\displaystyle C(X)}$, é fácil mostrar que o espectro de uma função ${\displaystyle f}$ coincide com sua imagem.

Aplicações

Segue da definição que o espectro de um elemento ${\displaystyle a}$ de uma álgebra de Banach é um conjunto compacto, contido no disco em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ centrado na origem e de raio ${\displaystyle ||a||}$.

O conceito de espectro é amplamente utilizado na análise funcional, e principalmente na teoria de álgebras C*. Um resultado importante que envolve espectro é conhecido como o Teorema Espectral.

Uma das consequências do teorema espectral é a seguinte: dado um operador limitado ${\displaystyle T}$ sobre um espaço de Hilbert da forma ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$, (onde ${\displaystyle (X,\mu )}$ é um espaço de medida), pode-se definir de forma satisfatória ${\displaystyle f(T)}$, para qualquer função contínua em ${\displaystyle C(\sigma (A))}$. Este procedimento é conhecido como cálculo funcional contínuo.