Identidade trigonométrica é uma identidade que envolve funções trigonométricas , sendo, pois, verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Com efeito, ela é útil sempre que expressões que contêm expressões trigonométricas devam ser simplificadas, ou, doutra sorte, substituídas com o propósito de conseguir uma nova transformação, mais útil para dada aplicação. Uma importante aplicação, exemplo notável da técnica de substituição, é a integração de funções não-trigonométricas: um recurso comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica e então simplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.
Notação
Ângulos Ângulos são entidades geométricas definidas em geometria euclidiana plana ou tridimensional, podendo ser estendidos para geometrias não-euclidianas. Um ângulo, plano ou não, é caracterizado por sua abertura, e essa abertura pode ser medida. Embora sejam entidades distintas, sob o rigor lógico-matemático, costuma-se, por simplicidade de nomenclatura e notação (e de sentenças pertinentes), empregar o termo "ângulo" por "medida de ângulo", sempre que não houver comprometimento de ideias.
É usual utilizar letras gregas como alfa (α ), beta (β ), theta (θ ) e phi (φ ), ou letras latinas iniciais, como "a ", "b ", "c " etc., ou medianas ("m ", "n ", "p " etc.), para representar medidas de ângulos , que sejam conhecidos por generalidade e por princípio (a priori ). Contudo, quando expressões matemáticas, que são sentenças lógico-matemáticas, envolverem medidas de ângulo como quantidades variáveis (variáveis matemáticas), devem-se preferir "x ", "y ", "z " etc., conforme convenção para variáveis. Assim, ao se escreverem expressões que representam relações, funções, igualdades, identidades ou equações com um ou mais argumento variável, os símbolos convencionais adequados a essa aplicação ("x ", "y ", "z " etc.) devem-se utilizar.
Várias unidades de ângulo são largamente utilizadas, incluindo grau, radiano e grado, além de reto , correspondente à medida de um ângulo reto :
1 volta completa = 360 graus = 2 π {\displaystyle \pi } radianos = 400 grados = 4 retos. A tabela a seguir mostra as conversões para alguns ângulos comuns:
Graus 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330° Radianos π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} 2 π 3 {\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}} 5 π 6 {\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}} 7 π 6 {\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}} 4 π 3 {\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}} 5 π 3 {\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}} 11 π 6 {\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}} Grados 33⅓ grados 66⅔ grados 133⅓ grados 166⅔ grados 233⅓ grados 266⅔ grados 333⅓ grados 366⅔ grados Graus 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360° Radianos π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 3 π 4 {\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}} π {\displaystyle \pi } 5 π 4 {\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}} 3 π 2 {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}} 7 π 4 {\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}} 2 π {\displaystyle 2\pi } Grados 50 grados 100 grados 150 grados 200 grados 250 grados 300 grados 350 grados 400 grados
Funções trigonométricas As funções trigonométricas básicas são o seno e o cosseno de um ângulo , justamente porque se pode escrever qualquer outra função trigonométric a a partir das funções seno e cosseno . A notação utilizada para essas funções é sen ( θ ) {\displaystyle \operatorname {sen} \left(\theta \right)} e cos ( θ ) {\displaystyle \cos \left(\theta \right)} , respectivamente, onde θ {\displaystyle \theta } é o ângulo. Todavia as parênteses podem ser omitidas, ficando da seguinte forma: sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta } e cos θ {\displaystyle \cos \theta } .
A função tangente (escreve-se " tan θ {\displaystyle {\text{tan}}\ \theta } " ou " tg θ {\displaystyle {\text{tg}}\ \theta } " ) de um ângulo é a razão entre seno e o cosseno do mesmo ângulo :
tan θ = sen θ cos θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}} .
Finalmente, as funções trigonométricas de razão recíproca, secante ( sec {\displaystyle \sec } ), cossecante ( csc {\displaystyle \csc } ) e cotangente ( cot {\displaystyle \cot } ), das funções cosseno , seno e tangente , respectivamente:
cot θ = 1 tan θ = cos θ sen θ {\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}} ; sec θ = 1 cos θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}} ; csc θ = 1 sen θ {\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}} . Tabela de Trigonometria da Cyclopaedia (1728)
Funções inversas As funções trigonométricas inversas são funções inversas parciais. Por exemplo a função inversa de seno é a função arco seno, denotada por arcsen {\displaystyle {\text{arcsen}}} ou por sen − 1 {\displaystyle \operatorname {sen} ^{-1}} (essa ultima notação é pouco utilizada, pois costuma gerar confusão entre a função arcoseno e cossecante). Essas funções são utilizadas quando temos uma relação trigonométrica conhecida e deseja-se descobrir o ângulo que resulta em tal relação.
Por exemplo: sabendo-se que o sen 60 ∘ = sen ( π 3 ) = 3 2 {\displaystyle \operatorname {sen} 60^{\circ }=\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}} , podemos dizer que arcsen ( 3 2 ) = π 3 {\displaystyle {\text{arcsen}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)={\frac {\pi }{3}}} .
Assim observa-se que, para essas funções, deve valer: sen ( arcsen ) = x para | x | ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {sen}(\operatorname {arcsen} )=x\quad {\text{para}}\quad |x|\leq 1} e arcsen ( sen x ) = x para | x | ≤ π / 2 {\displaystyle \operatorname {arcsen} (\operatorname {sen} x)=x\quad {\text{para}}\quad |x|\leq \pi /2} A tabela a seguir mostra as funções trigonométricas e suas respectivas inversas:
Função Trigonométrica Seno Cosseno Tangente Secante Cossecante Cotangente Notação sen {\displaystyle \operatorname {sen} } cos {\displaystyle \cos } tan {\displaystyle \tan } sec {\displaystyle \sec } csc {\displaystyle \csc } cot {\displaystyle \cot } Função Inversa Arco seno Arco cosseno Arco tangente Arco secante Arco cossecante Arco cotangente Notação arcsen {\displaystyle {\text{arcsen}}} arccos {\displaystyle {\text{arccos}}} arctan {\displaystyle {\text{arctan}}} arcsec {\displaystyle \operatorname {arcsec} } arccsc {\displaystyle {\text{arccsc}}} arccot {\displaystyle {\text{arccot}}}
Identidades pitagóricas Existem diversas relações entre as funções trigonométricas . Essas relações são conhecidas como identidades trigonométricas ou identidades pitagóricas, justamente porque todas elas partem das relações estabelecidas pelo teorema de pitágoras .
A relação básica entre seno e cosseno é cos 2 θ + sen 2 θ = 1 , {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta =1,} conhecida como Identidade Trigonométrica Fundamental , pois é a mais básica identidade pitagórica.
Esta identidade pode ser deduzida através do Teorema de Pitágoras , o que será demonstrado adiante.
Também existem outras duas identidades: tan 2 α + 1 = sec 2 α {\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha } e tan 2 α + 1 = sec 2 α , {\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha ,} que são corolários da identidade trigonométrica fundamental.
Assim, existem três identidades pitagóricas:
cos 2 θ + sen 2 θ = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta =1} tan 2 α + 1 = sec 2 α {\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha } cot 2 α + 1 = csc 2 α {\displaystyle \cot ^{2}\alpha +1=\csc ^{2}\alpha } Abaixo temos as demonstrações dessas identidades e, após, um quadro que relaciona todas as identidades à função trigonométrica que se deseja obter.
Relação fundamental Relação entre seno e cosseno no círculo trigonométrico Vamos demonstração a relação fundamental:
sen 2 α + cos 2 α = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha &=1\end{aligned}}}
Demonstração geométrica Seja o triângulo retângulo ACH, com catetos A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} e C H ¯ {\displaystyle {\overline {CH}}} e hipotenusa A H ¯ , {\displaystyle {\overline {AH}},} observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: A C ¯ = cos α , {\displaystyle {\overline {AC}}\,\!=\cos \alpha ,} C H ¯ = sen α {\displaystyle {\overline {CH}}\,\!=\operatorname {sen} \alpha } e A H ¯ = 1. {\displaystyle {\overline {AH}}\,\!=1.}
Aplicando o teorema de Pitágoras:
( A C ¯ ) 2 + ( C H ¯ ) 2 = ( A H ¯ ) 2 ⇒ ( cos α ) 2 + ( sen α ) 2 = 1 2 . {\displaystyle ({\overline {AC}})^{2}+({\overline {CH}})^{2}=({\overline {AH}})^{2}\Rightarrow (\cos \alpha )^{2}+(\operatorname {sen} \alpha )^{2}=1^{2}.}
Logo: sen 2 α + cos 2 α = 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha &=1\end{aligned}}.}
Corolários
1° Corolário Vamos demonstrar o seguinte corolário:
Relação entre secante e tangente no círculo trigonométrico tan 2 α + 1 = sec 2 α {\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha }
Demonstração Geométrica Seja o triângulo retângulo ADF, com catetos A D ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}} e D F ¯ {\displaystyle {\overline {DF}}} e hipotenusa A F ¯ , {\displaystyle {\overline {AF}},} observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: A D ¯ = 1 , {\displaystyle {\overline {AD}}\,\!=1,} D F ¯ = tan α {\displaystyle {\overline {DF}}\,\!=\tan \alpha } e A F ¯ = sec α . {\displaystyle {\overline {AF}}\,\!=\sec \alpha .}
Aplicando o teorema de Pitágoras:
( A D ¯ ) 2 + ( D F ¯ ) 2 = ( A F ¯ ) 2 ⇒ 1 2 + ( tan α ) 2 = ( sec α ) 2 . {\displaystyle ({\overline {AD}})^{2}+({\overline {DF}})^{2}=({\overline {AF}})^{2}\Rightarrow 1^{2}+(\tan \alpha )^{2}=(\sec \alpha )^{2}.}
Logo: tan 2 α + 1 = sec 2 α . {\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha .}
Demonstração Algébrica É possível demonstrar esse corolário através da relação fundamental dividindo todos os termos por cos 2 α , {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ,} da seguinte forma:
sen 2 α + cos 2 α = 1 → sen 2 α cos 2 α + cos 2 α cos 2 α = 1 cos 2 α → tan 2 α + 1 = sec 2 α {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha &=1\rightarrow {\operatorname {sen} ^{2}\alpha \over \cos ^{2}\alpha }+{\cos ^{2}\alpha \over \cos ^{2}\alpha }={1 \over \cos ^{2}\alpha }\rightarrow \operatorname {tan} ^{2}\alpha +1=\operatorname {sec} ^{2}\alpha \end{aligned}}}
2° Corolário Vamos demonstrar o seguinte corolário:
Relação entre cossecante e cotangente no círculo trigonométrico 1 + cot 2 α = csc 2 α {\displaystyle 1+\cot ^{2}\alpha =\csc ^{2}\alpha }
Demonstração Geométrica Seja o triângulo retângulo AEG, com catetos A E ¯ {\displaystyle {\overline {AE}}} e E G ¯ {\displaystyle {\overline {EG}}} e hipotenusa A G ¯ , {\displaystyle {\overline {AG}},} observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: A E ¯ = 1 , {\displaystyle {\overline {AE}}\,\!=1,} E G ¯ = cot α {\displaystyle {\overline {EG}}\,\!=\cot \alpha } e A G ¯ = csc α . {\displaystyle {\overline {AG}}\,\!=\csc \alpha .}
Aplicando o teorema de Pitágoras:
( A E ¯ ) 2 + ( E G ¯ ) 2 = ( A G ¯ ) 2 ⇒ 1 2 + ( cot α ) 2 = ( csc α ) 2 . {\displaystyle ({\overline {AE}})^{2}+({\overline {EG}})^{2}=({\overline {AG}})^{2}\Rightarrow 1^{2}+(\cot \alpha )^{2}=(\csc \alpha )^{2}.}
Logo: 1 + cot 2 α = csc 2 α . {\displaystyle 1+\cot ^{2}\alpha =\csc ^{2}\alpha .}
Ou, comutativamente: cot 2 α + 1 = csc 2 α . {\displaystyle \cot ^{2}\alpha +1=\csc ^{2}\alpha .}
Demonstração Algébrica É possível demonstrar esse corolário através da relação fundamental dividindo todos os termos por sen 2 α , {\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\alpha ,} da seguinte forma:
sen 2 α + cos 2 α = 1 → sen 2 α sen 2 α + cos 2 α sen 2 α = 1 sen 2 α → 1 + cot 2 α = csc 2 α {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha &=1\rightarrow {\operatorname {sen} ^{2}\alpha \over \operatorname {sen} ^{2}\alpha }+{\cos ^{2}\alpha \over \operatorname {sen} ^{2}\alpha }={1 \over \operatorname {sen} ^{2}\alpha }\rightarrow {1+\operatorname {cot} ^{2}\alpha }=\operatorname {csc} ^{2}\alpha \end{aligned}}}
Tendo em mente esses dois resultados podemos ainda demonstrar as seguintes relações:
cos 2 α = 1 sec 2 α {\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{2}\alpha ={1 \over \sec ^{2}\alpha }\end{aligned}}} e sec 2 α = tan 2 α + 1 ⇒ cos 2 α = 1 tan 2 α + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sec ^{2}\alpha =\tan ^{2}\alpha +1\Rightarrow \cos ^{2}\alpha ={1 \over \tan ^{2}\alpha +1}\end{aligned}}}
sen 2 α = sen 2 α → sen 2 α = s e n 2 α . cos 2 α cos 2 α = cos 2 α . tan 2 α = tan 2 α . 1 t a n 2 α + 1 ⇒ sen 2 α = tan 2 α tan 2 α + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {sen} ^{2}\alpha =\operatorname {sen} ^{2}\alpha }\rightarrow \operatorname {sen} ^{2}\alpha =sen^{2}\alpha .{\cos ^{2}\alpha \over \cos ^{2}\alpha }=\cos ^{2}\alpha .\tan ^{2}\alpha =\tan ^{2}\alpha .{1 \over {tan^{2}\alpha +1}}\Rightarrow \operatorname {sen} ^{2}\alpha ={\tan ^{2}\alpha \over {\tan ^{2}\alpha +1}}\end{aligned}}} [ 1]
Lista de relações entre funções trigonométricas.[ 2] relacionado a sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta } cos θ {\displaystyle \cos \theta } tan θ {\displaystyle \tan \theta } csc θ {\displaystyle \csc \theta } sec θ {\displaystyle \sec \theta } cot θ {\displaystyle \cot \theta } sen θ = {\displaystyle \operatorname {sen} \theta =} sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta } ± 1 − cos 2 θ {\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}} ± tan θ 1 + tan 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}} 1 csc θ {\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}} ± sec 2 θ − 1 sec θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}} ± 1 1 + cot 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}} cos θ = {\displaystyle \cos \theta =} ± 1 − sen 2 θ {\displaystyle \pm {\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}} cos θ {\displaystyle \cos \theta } ± 1 1 + tan 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}} ± csc 2 θ − 1 csc θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}} 1 sec θ {\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}} ± cot θ 1 + cot 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}} tan θ = {\displaystyle \tan \theta =} ± sen θ 1 − sen 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}} ± 1 − cos 2 θ cos θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}} tan θ {\displaystyle \tan \theta } ± 1 csc 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}} ± sec 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}} 1 cot θ {\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}} csc θ = {\displaystyle \csc \theta =} 1 sen θ {\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}} ± 1 1 − cos 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}} ± 1 + tan 2 θ tan θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}} csc θ {\displaystyle \csc \theta } ± sec θ sec 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}} ± 1 + cot 2 θ {\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}} sec θ = {\displaystyle \sec \theta =} ± 1 1 − sen 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}} 1 cos θ {\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}} ± 1 + tan 2 θ {\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}} ± csc θ csc 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}} sec θ {\displaystyle \sec \theta } ± 1 + cot 2 θ cot θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}} cot θ = {\displaystyle \cot \theta =} ± 1 − sen 2 θ sen θ {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}{\operatorname {sen} \theta }}} ± cos θ 1 − cos 2 θ {\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}} 1 tan θ {\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}} ± csc 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}} ± 1 sec 2 θ − 1 {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}} cot θ {\displaystyle \cot \theta }
Simetria Na tabela a seguir temos as relações de simetria entre diferentes tipos de ângulos e suas funções trigonométricas e em seguida suas devidas explicações e demonstrações.
Ângulos replementares[ 3] Ângulos complementares[ 4] Ângulos suplementares sen ( − θ ) = − sen θ cos ( − θ ) = + cos θ tan ( − θ ) = − tan θ csc ( − θ ) = − csc θ sec ( − θ ) = + sec θ cot ( − θ ) = − cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(-\theta )&=-\operatorname {sen} \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}} sen ( π 2 − θ ) = + cos θ cos ( π 2 − θ ) = + sen θ tan ( π 2 − θ ) = + cot θ csc ( π 2 − θ ) = + sec θ sec ( π 2 − θ ) = + csc θ cot ( π 2 − θ ) = + tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\operatorname {sen} \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}} sen ( π − θ ) = + sen θ cos ( π − θ ) = − cos θ tan ( π − θ ) = − tan θ csc ( π − θ ) = + csc θ sec ( π − θ ) = − sec θ cot ( π − θ ) = − cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(\pi -\theta )&=+\operatorname {sen} \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}}
Simetria entre ângulos replementares Chamamos de ângulo replementar o ângulo que, somado a outro, resulta em 360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }} ou 2 π rad {\displaystyle 2\pi \ {\text{rad}}} .
A seguir temos as explicações dessas relações e ao lado temos as verificações geométricas.
Seno e cosseno de ângulos replementares Verificação Geométrica da simetria entre seno e cosseno no círculo trigonométrico unitário Para seno e cosseno de ângulos replementares temos as relações:
sen ( − θ ) = − sen θ {\displaystyle \operatorname {sen}(-\theta )=-\operatorname {sen} \theta } , ou seja,os senos de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos; cos ( − θ ) = + cos θ {\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta } , ou seja, os cossenos de dois ângulos replementares são iguais. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas propriedades e a abaixo as demonstrações.
Demonstração geométrica A demonstração de cos ( − θ ) = + cos θ {\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta } é trivial, pois ambos são coincidentes (ambos são o mesmo segmento ) o que pode ser observado na figura ao lado.
Para demonstrar que sen ( − θ ) = − sen θ {\displaystyle \operatorname {sen}(-\theta )=-\operatorname {sen} \theta } partiremos de congruência de triângulos.
Seja os ângulos θ {\displaystyle \theta } e − θ {\displaystyle -\theta } no ciclo trigonométrico unitário, conforme vemos na figura ao lado, temos:
Δ A B D ≡ Δ A D C ( L A L ) ⟹ A E ¯ ≡ A F ¯ {\displaystyle \Delta {ABD}\equiv \Delta {ADC}\qquad \left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow {\overline {AE}}\equiv {\overline {AF}}}
Com base nisso e sabendo que A F ¯ = sen ( − θ ) {\displaystyle {\overline {AF}}=\operatorname {sen} \left(-\theta \right)} teríamos que sen ( − θ ) = sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left(-\theta \right)=\operatorname {sen} \theta } , uma vez que A E ¯ = sen θ {\displaystyle {\overline {AE}}=\operatorname {sen} \theta } .
Porém, pela definição de seno no ciclo trigonométrico temos que sen ( − θ ) = − sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left(-\theta \right)=-\operatorname {sen} \theta } , uma vez que o seno no 3° e no 4° quadrante são negativos.
Logo temos que sen ( − θ ) = − sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left(-\theta \right)=-\operatorname {sen} \theta } e cos ( − θ ) = + cos θ {\displaystyle \cos(-\theta )=+\cos \theta } .
Tangente de ângulos replementares Para a tangente de ângulos replementares temos a relação:
tan ( − θ ) = − tan θ {\displaystyle \tan \left(-\theta \right)=-\tan \theta } , ou seja, as tangentes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos. Representação geométrica da simetria entre tangente de ângulos replementares. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos a demonstração algébrica.
Demonstração algébrica Para demonstrar que tan ( − θ ) = − tan θ {\displaystyle \tan \left(-\theta \right)=-\tan \theta } , partiremos da relação entre seno e cosseno .
Temos, pela definição de tangente, que a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e cosseno do mesmo ângulo.
Assim, temos que:
tan ( − θ ) = sen ( − θ ) cos ( − θ ) = − sen θ + cos θ = − tan θ {\displaystyle \tan \left(-\theta \right)={\frac {\operatorname {sen} \left(-\theta \right)}{\cos \left(-\theta \right)}}={\frac {-\operatorname {sen} \theta }{+\cos \theta }}=-\tan \theta }
Logo tan ( − θ ) = − tan θ {\displaystyle \tan \left(-\theta \right)=-\tan \theta } .
Cossecante e secante de ângulos replementares Para a cossecante e secante de ângulos replementares temos as relações:
csc ( − θ ) = − csc θ {\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta } , ou seja, as cossecantes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos; sec ( − θ ) = + sec θ {\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta } , ou seja, as secantes de dois ângulos replementares são iguais. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas propriedades abaixo temos as demonstrações algébricas.
Verificação geométrica da simetria entre secante e cossecante de ângulos replementares
Cossecante de ângulos replementares Para demonstrar que csc ( − θ ) = − csc θ {\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta } , partiremos da relação de simetria do seno.
Temos, pela definição de cossecante, que a cossecante de um ângulo é o inverso multiplicativo do seno do mesmo ângulo.
Assim, temos que:
csc ( − θ ) = 1 sen ( − θ ) = 1 − sen θ = − csc θ {\displaystyle \csc \left(-\theta \right)={\frac {1}{\operatorname {sen} \left(-\theta \right)}}={\frac {1}{-\operatorname {sen} \theta }}=-\csc \theta }
Logo csc ( − θ ) = − csc θ {\displaystyle \csc(-\theta )=-\csc \theta } .
Secante de ângulos replementares Para demonstrar que sec ( − θ ) = + sec θ {\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta } , partiremos da relação de simetria do cosseno.
Temos, pela definição de secante, que a secante de um ângulo é o inverso multiplicativo do cosseno do mesmo ângulo.
Assim, temos que:
sec ( − θ ) = 1 cos ( − θ ) = 1 + cos θ = + sec θ {\displaystyle \sec \left(-\theta \right)={\frac {1}{\cos \left(-\theta \right)}}={\frac {1}{+\cos \theta }}=+\sec \theta } .
Logo sec ( − θ ) = + sec θ {\displaystyle \sec(-\theta )=+\sec \theta } .
Cotangente de ângulos replementares Verificação geométrica da simetria entre cotangente de ângulos replementares Para a cotangente de ângulos replementares temos a relação:
cot ( − θ ) = − cot θ {\displaystyle \cot \left(-\theta \right)=-\cot \theta } , ou seja, as cotangentes de dois ângulos replementares são iguais, porém com sinais opostos. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos a demonstração algébrica.
Demonstração algébrica Para demonstrar que cot ( − θ ) = − cot θ {\displaystyle \cot \left(-\theta \right)=-\cot \theta } é possível partir da relação de simetria entre tangente ou da relação de simetria entre seno e cosseno.
Utilizaremos aqui relação de simetria entre tangente.
Temos, pela definição de cotangente, que a cotangente de um ângulo é o inverso multiplicativo da tangente do mesmo ângulo.
Assim, temos que:
cot ( − θ ) = 1 tan ( − θ ) = 1 − tan θ = − cot θ {\displaystyle \cot \left(-\theta \right)={\frac {1}{\tan \left(-\theta \right)}}={\frac {1}{-\tan \theta }}=-\cot \theta } .
Logo cot ( − θ ) = − cot θ {\displaystyle \cot \left(-\theta \right)=-\cot \theta } .[ 5]
Simetria entre ângulos complementares Chamamos o ângulo complementar um ângulo que, quando somado a outro, resulta em 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} ou π 2 rad {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\ {\text{rad}}} .
A seguir temos as explicações e demonstrações dessas relações e suas verificações geométricas.
Seno e cosseno de ângulos complementares Para seno e cosseno de ângulos complementares temos as seguintes relações:
sen ( π 2 − θ ) = cos θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta } , ou seja, o cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complementar (ou vice-versa);
cos ( π 2 − θ ) = sen θ {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {sen} \theta } , ou seja, o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar (ou vice versa).
Triângulo retângulo qualquer Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessa propriedade e abaixo temos suas demonstrações
Demonstração para ângulos agudos Essa primeira demonstração se limita para ângulos agudos, pois utiliza a relação entre o seno e o cosseno dos ângulos não retos de um triângulo retângulo qualquer.
Para essa demonstração, então, utilizaremos o triângulo retângulo ao lado.
Nesse triângulo observamos que os ângulos não retos são complementares, pois a soma de todos os ângulos de um triângulo é 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} .
Assim, primeiramente, vamos analisar as relações trigonométricas relativas ao ângulo θ {\displaystyle \theta } e, em seguida, analisar as relações trigonométricas relativas ao ângulos 90 ∘ − θ {\displaystyle 90^{\circ }-\theta } :
sen θ = b a e cos θ = c a {\displaystyle \operatorname {sen} \theta ={\frac {b}{a}}\qquad {\text{e}}\qquad \cos \theta ={\frac {c}{a}}} ;
cos ( π 2 − θ ) = b a e sen ( π 2 − θ ) = c a {\displaystyle {\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {b}{a}}}\qquad {\text{e}}\qquad {\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {c}{a}}}} .
Assim, conforme observamos nas relações acima temos:
sen θ = b a = cos ( π 2 − θ ) ⟹ cos ( π 2 − θ ) = sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta ={\frac {b}{a}}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\qquad \Longrightarrow \qquad {\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {sen} \theta }}
e
cos θ = c a = sen ( π 2 − θ ) ⟹ sen ( π 2 − θ ) = cos θ {\displaystyle \cos \theta ={\frac {c}{a}}=\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\qquad \Longrightarrow \qquad {\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta }} .
Assim, demonstramos a relação de simetria entre seno e cosseno de ângulos agudos e complementares.[ 6]
Demonstração no ciclo trigonométrico Queremos demonstrar que sen ( π 2 − θ ) = cos θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta } e cos ( π 2 − θ ) = sen θ {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {sen} \theta } .
Para isso partiremos dos triângulo s △ ADE {\displaystyle \triangle {\text{ADE}}} e △ ACB {\displaystyle \triangle {\text{ACB}}} .
Observe que nesses triângulos temos as seguintes relações:
Verificação geométrica da congruência de triângulos para seno e cosseno e ângulos complementares. △ ADE { AD = 1 ED = cos ( π 2 − θ ) AE = sen ( π 2 − θ ) D A ^ E = θ A E ^ D = 90 ∘ {\displaystyle \triangle {\text{ADE}}\quad {\begin{cases}{\text{AD}}=1\\{\text{ED}}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\{\text{AE}}=\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\D{\hat {A}}E=\theta \\A{\hat {E}}D=90^{\circ }\end{cases}}}
e
△ ACB { AB = 1 AC = cos θ BC = sen θ C A ^ B = θ A C ^ B = 90 ∘ {\displaystyle \triangle {\text{ACB}}\quad {\begin{cases}{\text{AB}}=1\\{\text{AC}}=\cos \theta \\{\text{BC}}=\operatorname {sen} \theta \\C{\hat {A}}B=\theta \\A{\hat {C}}B=90^{\circ }\end{cases}}}
Assim, com base nessas relações observamos que os dois triângulos são congruentes pelo caso de congruência lado, ângulo e ângulo oposto ao lado.[ 7] :
AD ≡ AB e D A ^ E ≡ C A ^ B e A E ^ D ≡ A C ^ B ⇒ △ ADE ≡ △ ACB ( L A A 0 ) ⟹ { ED ≡ BC AE ≡ AC {\displaystyle {\text{AD}}\equiv {\text{AB}}\quad {\text{e}}\quad D{\hat {A}}E\equiv {C{\hat {A}}B}\quad {\text{e}}\quad A{\hat {E}}D\equiv {A{\hat {C}}B}\Rightarrow \quad \triangle {\text{ADE}}\equiv \triangle {\text{ACB}}\quad \left(LAA_{0}\right)\Longrightarrow {\begin{cases}{\text{ED}}\equiv {\text{BC}}\\{\text{AE}}\equiv {\text{AC}}\end{cases}}}
Nessa congruência de triângulos chegamos ás seguintes conclusões:
Verificação da simetria entre cotangente de um ângulo e seu complementar. ED ≡ BC ⟺ cos ( π 2 − θ ) = sen θ {\displaystyle {\text{ED}}\equiv {\text{BC}}\Longleftrightarrow \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {sen} \theta }
e
AE ≡ AC ⟺ sen ( π 2 − θ ) = cos θ {\displaystyle {\text{AE}}\equiv {\text{AC}}\Longleftrightarrow \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta } .
Assim demonstramos a relação de de simetria entre seno e cosseno de ângulos complementares.
Tangente e cotangente de ângulos complementares Verificação geométrica da relação de simetria entre a tangente de um ângulo e seu complementar Para a relação de simetria entre tangente e cotangente de ângulos complementares temos as seguintes relações:
tan ( π 2 − θ ) = cot θ {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta } , ou seja, a cotangente de um ângulo é igual a tangente de seu complementar; cot ( π 2 − θ ) = tan θ {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta } , ou seja, a tangente de um ângulo é igual a cotangente de seu complementar. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas relações e, em seguida, suas demonstrações.
Demonstração Queremos demonstrar que tan ( π 2 − θ ) = cot θ {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta } e que cot ( π 2 − θ ) = tan θ {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta } .
Para isso partiremos das definições de tangente e cotangente e das relações de simetria entre seno e cosseno de ângulos complementares.
Pela definição de tangente, temos que a tangente de um ângulo pode ser expressa pela razão entre o seno e cosseno do mesmo ângulo.
Dessa forma, temos:
tan ( π 2 − θ ) = sen ( π 2 − θ ) cos ( π 2 − θ ) = cos θ sen θ = cot θ {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}{\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}}={\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}=\cot \theta } , pois a cotangente de um ângulo é igual a razão entre o cosseno e o seno do mesmo ângulo.
Para demonstrarmos que cot ( π 2 − θ ) = tan θ {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta } partiremos da definição de tangente como inverso multiplicativo da cotangente.
Assim, temos:
cot ( π 2 − θ ) = 1 tan ( π 2 − θ ) = 1 cot θ = tan θ {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}}={\frac {1}{\cot \theta }}=\tan \theta } .
Logo tan ( π 2 − θ ) = cot θ {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta } e cot ( π 2 − θ ) = tan θ {\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta } .
Secante e cossecante de ângulos complementares Verificação geométrica da relação de simetria entre secante de um ângulo e seu complementar Para a relação de simetria entre secante e cossecante de ângulos complementares temos as seguintes relações:
sec ( π 2 − θ ) = csc θ {\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta } , ou seja, a cossecante de um ângulo é igual a secante de seu complementar; csc ( π 2 − θ ) = sec θ {\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta } , ou seja, a secante de um ângulo é igual a cossecante de seu complementar. Na figura ao lado temos a verificação geométrica dessas relações e, em seguida, suas demonstrações.
Demonstração Queremos demonstrar que sec ( π 2 − θ ) = csc θ {\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta } e que csc ( π 2 − θ ) = sec θ {\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta } .
Para isso partiremos das definições de secante e cossecante como inversos multiplicativos do cosseno e do seno, respectivamente. Após isso aplicaremos as relações já demonstradas de seno e cosseno de ângulos complementares.
Assim temos:
Verificação geométrica da relação de simetria entre cossecante de um ângulo e seu complementar. ( I ) sec ( π 2 − θ ) = 1 cos ( π 2 − θ ) = 1 sen θ = csc θ {\displaystyle \left({\text{I}}\right)\qquad {\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}}={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}=\csc \theta }} .
e
( II ) csc ( π 2 − θ ) = 1 sen ( π 2 − θ ) = 1 cos θ = sec θ {\displaystyle \left({\text{II}}\right)\qquad {\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}={\frac {1}{\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)}}={\frac {1}{\cos \theta }}=\sec \theta } .
Em ( I ) {\displaystyle \left({\text{I}}\right)} temos demonstrado a relação da secante de ângulos complementares e em ( II ) {\displaystyle \left({\text{II}}\right)} temos demonstrado a relação da cossecante de ângulos complementares.[ 8]
Simetria entre ângulos suplementares Chamamos de ângulos suplementares dois ângulos que, somados, resultam em 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} ou π rad {\displaystyle \pi \ {\text{rad}}} .
A seguir temos as explicações dessas relações e suas respectivas demonstrações.
Simetria entre seno e cosseno de ângulos suplementares Para a relação de simetria entre seno e cosseno de ângulos suplementares temos as seguintes relações:
sen ( π − θ ) = + sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)=+\operatorname {sen} \theta } , que significa que o seno de um ângulo é igual ao seno de seu suplementar; cos ( π − θ ) = − cos θ {\displaystyle \cos \left(\pi -\theta \right)=-\cos \theta } , que significa que o cosseno de um ângulo é igual ao inverso aditivo do cosseno de seu complementar. A seguir temos a demonstração para essas duas propriedades e suas verificações geométricas.[ 1]
Demonstração Verificação geométrica da relação existente entre seno e cosseno de ângulos suplementares. Queremos demonstrar que sen ( π − θ ) = sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)=\operatorname {sen} \theta } e cos ( π − θ ) = − cos θ {\displaystyle \cos \left(\pi -\theta \right)=-\cos \theta } .
Para isso partiremos dos triângulos △ ABC {\displaystyle \triangle {\text{ABC}}} e △ ADE {\displaystyle \triangle {\text{ADE}}} da figura ao lado.
Observe que, nesses triângulos, temos as seguintes relações:
△ ABC { AB = 1 AC = cos θ CB = sen θ C A ^ B = θ A C ^ B = 90 ∘ {\displaystyle \triangle {\text{ABC}}\quad {\begin{cases}{\text{AB}}=1\\{\text{AC}}=\cos \theta \\{\text{CB}}=\operatorname {sen} \theta \\C{\hat {A}}B=\theta \\A{\hat {C}}B=90^{\circ }\end{cases}}}
e
△ ADE { AD = 1 AE = | cos ( π − θ ) | ED = sen ( π − θ ) D A ^ E = θ A E ^ D = 90 ∘ {\displaystyle \triangle {\text{ADE}}\quad {\begin{cases}{\text{AD}}=1\\{\text{AE}}=\left|\cos \left(\pi -\theta \right)\right|\\{\text{ED}}=\operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)\\D{\hat {A}}E=\theta \\A{\hat {E}}D=90^{\circ }\end{cases}}}
Assim, com base nessas relações, percebemos que os triângulos são congruentes pelo caso de congruência lado, ângulo e ângulo oposto ao lado. Da seguinte forma:
AD ≡ AB e D A ^ E ≡ C A ^ B e A E ^ D ≡ A C ^ B ⇒ △ ADE ≡ △ ACB ( L A A 0 ) ⟹ { ED ≡ CB AE ≡ AC {\displaystyle {\text{AD}}\equiv {\text{AB}}\quad {\text{e}}\quad D{\hat {A}}E\equiv {C{\hat {A}}B}\quad {\text{e}}\quad A{\hat {E}}D\equiv {A{\hat {C}}B}\Rightarrow \quad \triangle {\text{ADE}}\equiv \triangle {\text{ACB}}\quad \left(LAA_{0}\right)\Longrightarrow {\begin{cases}{\text{ED}}\equiv {\text{CB}}\\{\text{AE}}\equiv {\text{AC}}\end{cases}}}
Logo, a partir dessa congruência de triângulos, temos as seguintes relações:
ED ≡ CB ⟺ sen ( π − θ ) = sen θ {\displaystyle {\text{ED}}\equiv {\text{CB}}\Longleftrightarrow \operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)=\operatorname {sen} \theta }
e
AE ≡ AC ⟺ | cos ( π − θ ) | = cos θ {\displaystyle {\text{AE}}\equiv {\text{AC}}\Longleftrightarrow \left|\cos \left(\pi -\theta \right)\right|=\cos \theta } .
Como π − θ {\displaystyle \pi -\theta } é um ângulo obtuso e que possui imagem no segundo quadrante temos que cos ( π − θ ) {\displaystyle \cos \left(\pi -\theta \right)} é negativo.
Assim, podemos dizer que cos ( π − θ ) = − cos θ {\displaystyle \cos \left(\pi -\theta \right)=-\cos \theta } .
Assim demonstramos a relação existente entre seno e cosseno de ângulos suplementares.
Verificação geométrica da relação existente entre tangente de ângulos suplementares
Simetria entre tangente e cotangente de ângulos suplementares Para tangente e cotangente de ângulos suplementares temos as seguintes relações:
tan ( π − θ ) = − tan θ {\displaystyle \tan \left(\pi -\theta \right)=-\tan \theta } , que significa que a tangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da tangente do seu suplementar; cot ( π − θ ) = − cot θ {\displaystyle \cot \left(\pi -\theta \right)=-\cot \theta } , que significa que a cotangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da cotangente do seu suplementar. Abaixo temos as demonstrações dessas propriedades e suas verificações geométricas.
Demonstração algébrica Para demonstrar essas relações partiremos das já demonstradas relações de simetria entre cosseno e seno de ângulo suplementares.
Assim, temos que sen ( π − θ ) = sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)=\operatorname {sen} \theta } e que cos ( π − θ ) = − cos θ {\displaystyle \cos \left(\pi -\theta \right)=-\cos \theta } .
Escrevendo a tangente como a razão entre seno e cosseno e utilizando estas relações temos o seguinte:
tan ( π − θ ) = sen ( π − θ ) cos ( π − θ ) ⟺ tan ( π − θ ) = sen θ − cos θ = − sen θ cos θ ⟹ tan ( π − θ ) = − tan θ {\displaystyle \tan \left(\pi -\theta \right)={\frac {\operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)}{\cos \left(\pi -\theta \right)}}\Longleftrightarrow \tan \left(\pi -\theta \right)={\frac {\operatorname {sen} \theta }{-\cos \theta }}=-{\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}\qquad \Longrightarrow \qquad \tan \left(\pi -\theta \right)=-\tan \theta } .
Logo a tangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da tangente do seu suplementar.
Verificação geométrica da relação existente entre cotangente de ângulos suplementares. Tendo demonstrado essa relação para a tangente fica fácil demonstrá-la para a cotangente, bastando para isso escrever a cotangente como inverso multiplicativo da tangente, da seguinte forma:
cot ( π − θ ) = 1 tan ( π − θ ) = 1 − tan θ = − 1 tan θ = − cot θ ⟹ cot ( π − θ ) = − cot θ {\displaystyle \cot \left(\pi -\theta \right)={\frac {1}{\tan \left(\pi -\theta \right)}}={\frac {1}{-\tan \theta }}=-{\frac {1}{\tan \theta }}=-\cot \theta \qquad \Longrightarrow \qquad \cot \left(\pi -\theta \right)=-\cot \theta } .
Logo a cotangente de um ângulo é igual ao inverso aditivo da cotangente do seu suplementar.[ 1]
Simetria entre secante e cossecante de ângulos suplementares Para a secante e cossecante de ângulos suplementares temos as seguintes relações:
sec ( π − θ ) = − sec θ {\displaystyle \sec \left(\pi -\theta \right)=-\sec \theta } , que significa que a secante de um ângulo é igual ao inverso aditivo da secante do seu suplementar; csc ( π − θ ) = + csc θ {\displaystyle \csc \left(\pi -\theta \right)=+\csc \theta } , que significa que a cossecante de um ângulo é igual à cossecante do seu suplementar. Verificação geométrica da relação de simetria entre secante e cossecante de ângulos suplementares. Abaixo temos as demonstrações dessas propriedades e suas verificações geométricas.
Demonstração Para demonstrar essas relações partiremos das relações de simetria entre seno e cosseno de ângulo suplementares.
Assim, temos:
sec ( π − θ ) = 1 cos ( π − θ ) = 1 − cos θ = − sec θ ⟹ sec ( π − θ ) = − sec θ {\displaystyle \sec \left(\pi -\theta \right)={\frac {1}{\cos \left(\pi -\theta \right)}}={\frac {1}{-\cos \theta }}=-\sec \theta \qquad \Longrightarrow \qquad \sec \left(\pi -\theta \right)=-\sec \theta }
e
csc ( π − θ ) = 1 sen ( π − θ ) = 1 sen θ = csc θ ⟹ csc ( π − θ ) = + csc θ {\displaystyle \csc \left(\pi -\theta \right)={\frac {1}{\operatorname {sen} \left(\pi -\theta \right)}}={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}=\csc \theta \qquad \Longrightarrow \qquad \csc \left(\pi -\theta \right)=+\csc \theta }
Logo a secante de um ângulo é igual ao inverso aditivo da secante de seu suplementar e a cossecante de um ângulo é igual ao inverso aditivo da cossecante de seu suplementar.[ 1]
Translação e periodicidade Trocando-se valores de certos ângulos, é possível obter equivalências entre as funções trigonométricas. Funções trigonométricas são periódicas, e portanto, valores específicos de ângulo para as funções trigonométricas denotam um mesmo valor.
Adicionando-se π/2 Adicionando-se π Período para tan e cot[ 9] Adicionando-se 2π Período para sen, cos, csc e sec[ 10] sen ( θ + π 2 ) = + cos θ cos ( θ + π 2 ) = − sen θ tan ( θ + π 2 ) = − cot θ csc ( θ + π 2 ) = + sec θ sec ( θ + π 2 ) = − csc θ cot ( θ + π 2 ) = − tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\operatorname {sen} \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}} sen ( θ + π ) = − sen θ cos ( θ + π ) = − cos θ tan ( θ + π ) = + tan θ csc ( θ + π ) = − csc θ sec ( θ + π ) = − sec θ cot ( θ + π ) = + cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(\theta +\pi )&=-\operatorname {sen} \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}} sen ( θ + 2 π ) = + sen θ cos ( θ + 2 π ) = + cos θ tan ( θ + 2 π ) = + tan θ csc ( θ + 2 π ) = + csc θ sec ( θ + 2 π ) = + sec θ cot ( θ + 2 π ) = + cot θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(\theta +2\pi )&=+\operatorname {sen} \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}}
Teoremas de adição É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma e da diferença de números reais , se conhecermos as funções circulares desses números.
A seguir há uma tabela que contém todas as fórmulas para adições e subtrações de arcos e, abaixo, suas demonstrações.
Seno sen ( α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β {\displaystyle \operatorname {sen}(\alpha \pm \beta )=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \operatorname {sen} \beta } [ 11] [ 12] Cosseno cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β {\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta } [ 12] [ 13] Tangente tan ( α ± β ) = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β {\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}} [ 12] [ 14] Cotangente cot ( α ± β ) = cot α . cot β ∓ 1 cot β ± cot α {\displaystyle \cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha .\cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}} [ 12] [ 15] Arco seno arcsen α ± arcsen β = arcsen ( α 1 − β 2 ± β 1 − α 2 ) {\displaystyle \operatorname {arcsen} \alpha \pm \operatorname {arcsen} \beta =\operatorname {arcsen} (\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})} [ 16] Arco coseno arccos α ± arccos β = arccos ( α β ∓ ( 1 − α 2 ) ( 1 − β 2 ) ) {\displaystyle \arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})} [ 17] Arco tangente arctan α ± arctan β = arctan ( α ± β 1 ∓ α β ) {\displaystyle \arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)} [ 18]
Demonstrações
Cosseno da Soma[ 1] Soma de arcos Para descobrir o cosseno da soma de dois arcos (ou ângulos) segue a seguinte fórmula: cos ( a + b ) = cos a . cos b − sen a . sen b {\displaystyle \cos({\text{a}}+{\text{b}})=\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}-\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}
Demonstração:
Sejam os pontos A , {\displaystyle {\text{A}},} B , {\displaystyle {\text{B}},} C {\displaystyle {\text{C}}} da figura ao lado, associados aos arcos a , {\displaystyle a,} − b {\displaystyle -b} e a + b , {\displaystyle a+b,} respectivamente. Assim, conforme já fora demonstrado, as coordenadas cartesianas dos pontos A , {\displaystyle {\text{A}},} B , {\displaystyle {\text{B}},} C {\displaystyle {\text{C}}} e E {\displaystyle {\text{E}}} são as seguintes:
A ( cos a , sen a ) {\displaystyle {\text{A}}(\cos {\text{a}},\operatorname {sen} {\text{a}})}
B ( cos b , − sen b ) {\displaystyle {\text{B}}(\cos {\text{b}},-\operatorname {sen} {\text{b}})}
C ( cos ( a + b ) , sen ( a + b ) ) {\displaystyle {\text{C}}(\cos({\text{a}}+{\text{b}}),\operatorname {sen}({\text{a}}+{\text{b}}))}
E ( 1 , 0 ) . {\displaystyle {\text{E}}(1,0).}
Observa-se, também, que os arcos que há entre os pontos A e B é igual ao arco que há entre o ponto E e C, o que faz com as respectivas cordas sejam iguais, logo: A B ¯ = E C ¯ . {\displaystyle {\overline {AB}}\,\!={\overline {EC}}.}
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos da geometria analítica, temos:
( A B ¯ ) 2 = [ cos a − cos b ] 2 + [ sen a − ( − sen b ) ] 2 {\displaystyle ({\overline {AB}})^{2}=[\cos {\text{a}}-\cos {\text{b}}]^{2}+[\operatorname {sen} {\text{a}}-(-\operatorname {sen} {\text{b}})]^{2}} e ( E C ¯ ) 2 = [ cos ( a + b ) − 1 ] 2 + [ sen ( a + b ) − 0 ] 2 . {\displaystyle ({\overline {EC}})^{2}=[\cos({\text{a}}+{\text{b}})-1]^{2}+[\operatorname {sen}({\text{a}}+{\text{b}})-0]^{2}.}
Simplificando a primeira relação, temos:
( A B ¯ ) 2 = cos 2 a − 2. cos a . cos b + cos 2 b + sen 2 a + 2. sen a . sen b + sen 2 b . {\displaystyle ({\overline {AB}})^{2}=\cos ^{2}{\text{a}}-2.\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}+\cos ^{2}{\text{b}}+\operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}+2.\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}+\operatorname {sen} ^{2}{\text{b}}.}
Sabendo que sen 2 a + cos 2 a = 1 , {\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}+\cos ^{2}{\text{a}}=1,} podemos reescrever:
( A B ¯ ) 2 = 2 − 2. cos a . cos b + 2. sen a . sen b . {\displaystyle ({\overline {AB}})^{2}=2-2.\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}+2.\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}.}
Simplificando a segunda relação, temos:
( E C ¯ ) 2 = cos 2 ( a + b ) − 2. cos ( a + b ) + 1 + sen 2 ( a + b ) . {\displaystyle ({\overline {EC}})^{2}=\cos ^{2}({\text{a}}+{\text{b}})-2.\cos({\text{a}}+{\text{b}})+1+\operatorname {sen} ^{2}({\text{a}}+{\text{b}}).}
Sabendo que sen 2 ( a + b ) + cos 2 ( a + b ) = 1 , {\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}({\text{a}}+{\text{b}})+\cos ^{2}({\text{a}}+{\text{b}})=1,} podemos reescrever:
( E C ¯ ) 2 = 2 − 2. cos ( a + b ) . {\displaystyle ({\overline {EC}})^{2}=2-2.\cos({\text{a}}+{\text{b}}).}
Por fim, sabendo que se A B ¯ = E C ¯ , {\displaystyle {\overline {AB}}\,\!={\overline {EC}},} então ( A B ¯ ) 2 = ( E C ¯ ) 2 ; {\displaystyle ({\overline {AB}}\,\!)^{2}=({\overline {EC}})^{2};} logo podemos igualar as duas relações da seguinte forma:
2 − 2. cos ( a + b ) = 2 − 2. cos a . cos b + 2. sen a . sen b {\displaystyle 2-2.\cos({\text{a}}+{\text{b}})=2-2.\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}+2.\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}
Podemos, por fim isolar o cosseno da soma em um dos lados da igualdade:
cos ( a + b ) = − 2. cos a . cos b + 2. sen a . sen b + 2 − 2 − 2 ⇒ cos ( a + b ) = cos a . cos b − sen a . sen b {\displaystyle \cos({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {-2.\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}+2.\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}+2-2}{-2}}\Rightarrow \cos({\text{a}}+{\text{b}})=\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}-\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}} .
Cosseno da diferença:[ 1] De forma similar ao cosseno da soma, o cosseno da diferença pode ser expresso por:
cos ( a − b ) = cos a . cos b + sen a . sen b {\displaystyle \cos({\text{a}}-{\text{b}})=\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}+\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}
Demonstração:
Seja o cosseno da soma já demonstrado, podemos demonstrar o cosseno da diferença através de algebrismos simples:
cos ( a − b ) = cos [ a + ( − b ) ] {\displaystyle \cos({\text{a}}-{\text{b}})=\cos[{\text{a}}+(-{\text{b}})]}
Assim, aplicando-se a formula do cosseno da soma obtêm-se:
cos [ a + ( − b ) ] = cos a . cos ( − b ) − sen a . sen ( − b ) {\displaystyle \cos[{\text{a}}+(-{\text{b}})]=\cos {\text{a}}.\cos(-{\text{b}})-\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen}(-{\text{b}})}
De tal modo, sabendo que:
sen ( − b ) = − sen b {\displaystyle \operatorname {sen}(-{\text{b}})=-\operatorname {sen} {\text{b}}} e cos ( − b ) = cos b {\displaystyle \cos(-{\text{b}})=\cos {\text{b}}}
Podemos reescrever como:
cos ( a − b ) = cos a . cos b − sen a . ( − sen b ) {\displaystyle \cos({\text{a}}-{\text{b}})=\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}-\operatorname {sen} {\text{a}}.(-\operatorname {sen} {\text{b}})}
Logo:
cos ( a − b ) = cos a . cos b + sen a . sen b {\displaystyle \cos({\text{a}}-{\text{b}})=\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}+\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}
Seno da soma Para descobrir o seno da soma entre dois arcos segue a seguinte fórmula:
sen ( a + b ) = sen a . cos b + sen b . cos a {\displaystyle \operatorname {sen}({\text{a}}+{\text{b}})=\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{b}}+\operatorname {sen} {\text{b}}.\cos {\text{a}}}
Demonstração :
Através das relações de simetria entre seno e cosseno, sabemos que:
sen x = cos ( π 2 − x ) {\displaystyle \operatorname {sen} {\text{x}}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\text{x}}\right)} e cos x = sen ( π 2 − x ) {\displaystyle \cos {\text{x}}=\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-{\text{x}}\right)}
Assim, podemos escrever:
sen ( a + b ) = cos [ π 2 − ( a + b ) ] = cos [ ( π 2 − a ) − b ] {\displaystyle \operatorname {sen}({\text{a}}+{\text{b}})=\cos \left[{\frac {\pi }{2}}-({\text{a}}+{\text{b}})\right]=\cos \left[({\frac {\pi }{2}}-{\text{a}})-{\text{b}}\right]}
Aplicando-se a já demonstrada fórmula do cosseno da diferença, temos:
cos [ ( π 2 − a ) − b ] = cos ( π 2 − a ) . cos b + sen ( π 2 − a ) . sen b {\displaystyle \cos \left[({\frac {\pi }{2}}-{\text{a}})-{\text{b}}\right]=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\text{a}}\right).\cos {\text{b}}+\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-{\text{a}}\right).\operatorname {sen} {\text{b}}}
Portanto, aplicando novamente as relações de simetria, chegamos à formula:
sen ( a + b ) = sen a . cos b + sen b . cos a {\displaystyle \operatorname {sen}({\text{a}}+{\text{b}})=\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{b}}+\operatorname {sen} {\text{b}}.\cos {\text{a}}}
Seno da diferença De forma similar ao seno da soma, o seno da diferença é expresso por:
sen ( a − b ) = sen a . cos b − sen b . cos a {\displaystyle \operatorname {sen}({\text{a}}-{\text{b}})=\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{b}}-\operatorname {sen} {\text{b}}.\cos {\text{a}}}
Demonstração :
Seja o seno da soma já demonstrado, é possível demonstrar o seno da diferença através de algebrismos simples:
sen ( a − b ) = sen [ a + ( − b ) ] {\displaystyle \operatorname {sen}({\text{a}}-{\text{b}})=\operatorname {sen}[{\text{a}}+(-{\text{b}})]}
Aplicando-se a fórmula do seno da soma temos:
sen [ a + ( − b ) ] = sen a . cos ( − b ) + sen ( − b ) . cos a {\displaystyle \operatorname {sen}[{\text{a}}+(-{\text{b}})]=\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos(-{\text{b}})+\operatorname {sen}(-{\text{b}}).\cos {\text{a}}}
Tendo em mente que:
sen ( − b ) = − sen b {\displaystyle \operatorname {sen}(-{\text{b}})=-\operatorname {sen} {\text{b}}} e cos ( − b ) = cos b {\displaystyle \cos(-{\text{b}})=\cos {\text{b}}}
Podemos reescrever:
sen ( a − b ) = sen a . ( cos b ) + ( − sen b ) . cos a {\displaystyle \operatorname {sen}({\text{a}}-{\text{b}})=\operatorname {sen} {\text{a}}.(\cos {\text{b}})+(-\operatorname {sen} {\text{b}}).\cos {\text{a}}}
Logo:
sen ( a − b ) = sen a . cos b − sen b . cos a {\displaystyle \operatorname {sen}({\text{a}}-{\text{b}})=\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{b}}-\operatorname {sen} {\text{b}}.\cos {\text{a}}}
Tangente da Soma[ 1] Para obter a tangente da soma de dois arcos utiliza-se a seguinte fórmula:
tan ( a + b ) = tan a + tan b 1 − tan a . tan b {\displaystyle \tan({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {\tan {\text{a}}+\tan {\text{b}}}{1-\tan {\text{a}}.\tan {\text{b}}}}}
Demonstração :
Seja tan x = sen x cos x , {\displaystyle \tan {\text{x}}={\frac {\operatorname {sen} {\text{x}}}{\cos {\text{x}}}},} podemos escrever:
tan ( a + b ) = sen ( a + b ) cos ( a + b ) {\displaystyle \tan({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {\operatorname {sen}({\text{a}}+{\text{b}})}{\cos({\text{a}}+{\text{b}})}}}
Aplicando-se as fórmulas já demonstradas do seno e do cosseno da soma, temos que:
tan ( a + b ) = sen a . cos b + sen b . cos a cos a . cos b − sen a . sen b {\displaystyle \tan({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{b}}+\operatorname {sen} {\text{b}}.\cos {\text{a}}}{\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}-\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}}}
Podemos dividir o denominador e o numerador por cos a . cos b {\displaystyle \cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}} de forma a reescrever a fórmula:
tan ( a + b ) = sen a . cos b + sen b . cos a cos a . cos b cos a . cos b − sen a . sen b cos a . cos b = sen a . cos b cos a . cos b + sen b . cos a cos a . cos b cos a . cos b cos a . cos b − sen a . sen b cos a . cos b {\displaystyle \tan({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {\frac {\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{b}}+\operatorname {sen} {\text{b}}.\cos {\text{a}}}{\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}}}{\frac {\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}-\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}{\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}}}}={\frac {{\frac {\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{b}}}{\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}}}+{\frac {\operatorname {sen} {\text{b}}.\cos {\text{a}}}{\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}}}}{{\frac {\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}}{\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}}}-{\frac {\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}{\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}}}}}}
Simplificando, temos:
tan ( a + b ) = 1. tan a + 1. tan b 1 − tan a . tan b {\displaystyle \tan({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {1.\tan {\text{a}}+1.\tan {\text{b}}}{1-\tan {\text{a}}.\tan {\text{b}}}}}
Logo:
tan ( a + b ) = tan a + tan b 1 − tan a . tan b . {\displaystyle \tan({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {\tan {\text{a}}+\tan {\text{b}}}{1-\tan {\text{a}}.\tan {\text{b}}}}.}
Tangente da diferença De forma análoga à tangente da soma, a tangente da diferença pode ser obtida através da fórmula:
tan ( a − b ) = tan a − tan b 1 + tan a . tan b {\displaystyle \tan({\text{a}}-{\text{b}})={\frac {\tan {\text{a}}-\tan {\text{b}}}{1+\tan {\text{a}}.\tan {\text{b}}}}}
Demonstração :
Sabendo que
tan ( a − b ) = tan [ a + ( − b ) ] {\displaystyle \tan({\text{a}}-{\text{b}})=\tan[{\text{a}}+(-{\text{b}})]}
Podemos aplicar a fórmula da tangente da soma do seguinte modo:
tan [ a + ( − b ) ] = tan a + tan ( − b ) 1 − tan a . tan ( − b ) {\displaystyle \tan[{\text{a}}+(-{\text{b}})]={\frac {\tan {\text{a}}+\tan(-{\text{b}})}{1-\tan {\text{a}}.\tan(-{\text{b}})}}}
Tendo em mente que tan ( − b ) = − tan b , {\displaystyle \tan(-{\text{b}})=-\tan {\text{b}},} podemos reescrever como:
tan ( a − b ) = tan a + ( − tan b ) 1 − tan a . ( − tan b ) {\displaystyle \tan({\text{a}}-{\text{b}})={\frac {\tan {\text{a}}+(-\tan {\text{b}})}{1-\tan {\text{a}}.(-\tan {\text{b}})}}}
Logo:
tan ( a − b ) = tan a − tan b 1 + tan a . tan b . {\displaystyle \tan({\text{a}}-{\text{b}})={\frac {\tan {\text{a}}-\tan {\text{b}}}{1+\tan {\text{a}}.\tan {\text{b}}}}.}
Cotangente da soma Para calcular a cotangente da soma de dois arcos utiliza-se a seguinte fórmula:
cot ( a + b ) = cot a . cot b − 1 cot a + cot b {\displaystyle \cot({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {\cot {\text{a}}.\cot {\text{b}}-1}{\cot {\text{a}}+\cot {\text{b}}}}}
Demonstração :
Seja cot x = cos x sen x , {\displaystyle \cot {\text{x}}={\frac {\cos {\text{x}}}{\operatorname {sen} {\text{x}}}},} podemos escrever:
cot ( a + b ) = cos ( a + b ) sen ( a + b ) . {\displaystyle \cot({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {\cos({\text{a}}+{\text{b}})}{\operatorname {sen}({\text{a}}+{\text{b}})}}.}
Aplicando-se as fórmulas já demonstradas do cosseno e do seno da soma, temos:
cot ( a + b ) = cos a . cos b − sen a . sen b sen a . cos b + sen b . cos a {\displaystyle \cot({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}-\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}{\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{b}}+\operatorname {sen} {\text{b}}.\cos {\text{a}}}}}
Podemos dividir o numerador e o denominador por sen a . sen b {\displaystyle \operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}} para reescrever a fórmula:
cot ( a + b ) = cos a . cos b − sen a . sen b sen a . sen b sen a . cos b + sen b . cos a sen a . sen b = cos a . cos b sen a . sen b − sen a . sen b sen a . sen b sen a . cos b sen a . sen b + sen b . cos a sen a . sen b {\displaystyle \cot({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {\frac {\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}-\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}{\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}}{\frac {\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{b}}+\operatorname {sen} {\text{b}}.\cos {\text{a}}}{\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}}}={\frac {{\frac {\cos {\text{a}}.\cos {\text{b}}}{\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}}-{\frac {\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}{\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}}}{{\frac {\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{b}}}{\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}}+{\frac {\operatorname {sen} {\text{b}}.\cos {\text{a}}}{\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{b}}}}}}}
Simplificando:
cot ( a + b ) = cot a . cot b − 1 1. cot b + 1. cot a {\displaystyle \cot({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {\cot {\text{a}}.\cot {\text{b}}-1}{1.\cot {\text{b}}+1.\cot {\text{a}}}}}
Logo:
cot ( a + b ) = cot a . cot b − 1 cot a + cot b {\displaystyle \cot({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {\cot {\text{a}}.\cot {\text{b}}-1}{\cot {\text{a}}+\cot {\text{b}}}}}
Cotangente da diferença De forma análoga à cotangente da soma, pode-se calcular a cotangente da diferença entre dois arcos aplicando-se a seguinte fórmula:
cot ( a − b ) = cot a . cot b + 1 cot b − cot a {\displaystyle \cot({\text{a}}-{\text{b}})={\frac {\cot {\text{a}}.\cot {\text{b}}+1}{\cot {\text{b}}-\cot {\text{a}}}}}
Demonstração
Seja cot ( a − b ) = cot [ a + ( − b ) ] , {\displaystyle \cot({\text{a}}-{\text{b}})=\cot[{\text{a}}+(-{\text{b}})],} podemos aplicar a fórmula da cotangente da soma da seguinte maneira:
cot [ a + ( − b ) ] = cot a . cot ( − b ) − 1 cot a + cot ( − b ) {\displaystyle \cot[{\text{a}}+(-{\text{b}})]={\frac {\cot {\text{a}}.\cot(-{\text{b}})-1}{\cot {\text{a}}+\cot(-{\text{b}})}}}
Sabendo que cot ( − b ) = − cot b , {\displaystyle \cot(-{\text{b}})=-\cot {\text{b}},} podemos reescrever:
cot ( a − b ) = cot a . ( − cot b ) − 1 cot a + ( − cot b ) = − cot a . cot b − 1 cot a − cot b {\displaystyle \cot({\text{a}}-{\text{b}})={\frac {\cot {\text{a}}.(-\cot {\text{b}})-1}{\cot {\text{a}}+(-\cot {\text{b}})}}={\frac {-\cot {\text{a}}.\cot {\text{b}}-1}{\cot {\text{a}}-\cot {\text{b}}}}}
Logo:
cot ( a + b ) = cot a . cot b + 1 cot b − cot a {\displaystyle \cot({\text{a}}+{\text{b}})={\frac {\cot {\text{a}}.\cot {\text{b}}+1}{\cot {\text{b}}-\cot {\text{a}}}}}
Função geral A função geral é uma representação das funções trigonométricas criada a fim de simplificar e tornar mais intuitivas suas propriedades e relações. Ela é definida do seguinte modo: V 0 ( θ ) = cos ( θ ) {\displaystyle V_{0}(\theta )=\cos(\theta )} e D θ n V x ( θ ) = V n + x ( θ ) {\displaystyle D_{\theta }^{n}V_{x}(\theta )=V_{n+x}(\theta )} , em que D x n {\displaystyle D_{x}^{n}} é a notação de Euler para diferenciação. Exemplificam-se as abaixo as representações tradicionais na forma generalizada :
V − 2 ( x ) = − cos ( x ) {\displaystyle V_{-2}(x)=-\cos(x)} V − 1 ( x ) = sen ( x ) {\displaystyle V_{-1}(x)=\operatorname {sen}(x)} V 0 ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle V_{0}(x)=\cos(x)} V 0 , 5 ( x ) = cos ( x − π / 4 ) {\displaystyle V_{0,5}(x)=\cos(x-\pi /4)} V 1 ( x ) = − sen ( x ) {\displaystyle V_{1}(x)=-\operatorname {sen}(x)} Detalhes de notação: V a = V a ( 0 ) {\displaystyle V_{a}=V_{a}(0)}
Propriedades Base par: V p ( θ ) = V p ( − θ ) {\displaystyle V_{p}(\theta )=V_{p}(-\theta )} Relação fundamental: se a − b {\displaystyle a-b} for um número ímpar, então V a 2 ( x ) + V b 2 ( x ) = 1 {\displaystyle V_{a}^{2}(x)+V_{b}^{2}(x)=1} Base ímpar: V i ( θ ) = − V i ( − θ ) {\displaystyle V_{i}(\theta )=-V_{i}(-\theta )} Mudança de Base: V a ( θ ) = V b ( θ + a − b 2 π ) {\displaystyle V_{a}(\theta )=V_{b}\left(\theta +{\tfrac {a-b}{2}}\pi \right)} Periodicidade da base: V a ( θ ) = ( − 1 ) k V a + 2 k ( θ ) , k ∈ Z {\displaystyle V_{a}(\theta )=(-1)^{k}V_{a+2k}(\theta ),k\in \mathbb {Z} } Periodicidade do arco: V a ( θ ) = V a ( θ + 2 k π ) , k ∈ Z {\displaystyle V_{a}(\theta )=V_{a}(\theta +2k\pi ),k\in \mathbb {Z} } Extrusão de base: V a ( θ ) = V 0 ( θ + a π 2 ) {\displaystyle V_{a}(\theta )=V_{0}\left(\theta +a{\frac {\pi }{2}}\right)} "Passar arco para o outro lado": V α ( x + a ) = V β ( b ) ⟹ V α ( x ) = V β ( b − α ) {\displaystyle V_{\alpha }(x+a)=V_{\beta }(b)\implies V_{\alpha }(x)=V_{\beta }(b-\alpha )}
V a ( x ) + V b ( y ) = 2 V a + b 2 ( x + y 2 ) V a − b 2 ( x − y 2 ) {\displaystyle V_{a}(x)+V_{b}(y)=2V_{\tfrac {a+b}{2}}\left({\tfrac {x+y}{2}}\right)V_{\tfrac {a-b}{2}}\left({\tfrac {x-y}{2}}\right)}
Exemplos:
Soma de cossenos: { cos ( a ) + cos ( b ) = 2 cos ( a + b 2 ) cos ( a − b 2 ) ⟺ ⟺ V 0 ( a ) + V 0 ( b ) = 2 V 0 + 0 2 ( a + b 2 ) V 0 − 0 2 ( a − b 2 ) ⟺ ⟺ V 0 ( a ) + V 0 ( b ) = 2 V 0 ( a + b 2 ) V 0 ( a − b 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}\cos(a)+\cos(b)&=&2\cos \left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{0}(a)+V_{0}(b)&=&2V_{\tfrac {0+0}{2}}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{\tfrac {0-0}{2}}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{0}(a)+V_{0}(b)&=&2V_{0}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{0}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\end{cases}}} Diferença de cossenos: { cos ( a ) − cos ( b ) = − 2 sen ( a + b 2 ) sen ( a − b 2 ) ⟺ ⟺ V 0 ( a ) + V 2 ( b ) = 2 V 0 + 2 2 ( a + b 2 ) V 0 − 2 2 ( a − b 2 ) ⟺ ⟺ V 0 ( a ) + V 2 ( b ) = 2 V 1 ( a + b 2 ) V − 1 ( a − b 2 ) ⟺ ⟺ V 0 ( a ) + V 2 ( b ) = − 2 V − 1 ( a + b 2 ) V − 1 ( a − b 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}\cos(a)-\cos(b)&=&-2\operatorname {sen} \left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{0}(a)+V_{2}(b)&=&2V_{\tfrac {0+2}{2}}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{\tfrac {0-2}{2}}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{0}(a)+V_{2}(b)&=&2V_{1}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{-1}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{0}(a)+V_{2}(b)&=&-2V_{-1}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{-1}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\end{cases}}} Soma de senos: { sen ( a ) + sen ( b ) = 2 sen ( a + b 2 ) cos ( a − b 2 ) ⟺ ⟺ V − 1 ( a ) + V − 1 ( b ) = 2 V − 1 − 1 2 ( a + b 2 ) V − 1 + 1 2 ( a − b 2 ) ⟺ ⟺ V − 1 ( a ) + V − 1 ( b ) = 2 V − 1 ( a + b 2 ) V 0 ( a − b 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sen}(a)+\operatorname {sen}(b)&=&2\operatorname {sen} \left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{-1}(a)+V_{-1}(b)&=&2V_{\tfrac {-1-1}{2}}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{\tfrac {-1+1}{2}}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{-1}(a)+V_{-1}(b)&=&2V_{-1}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{0}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\end{cases}}} Diferença de senos: { sen ( a ) − sen ( b ) = 2 cos ( a + b 2 ) sen ( a − b 2 ) ⟺ ⟺ V − 1 ( a ) + V 1 ( b ) = 2 V − 1 + 1 2 ( a + b 2 ) V − 1 − 1 2 ( a − b 2 ) ⟺ ⟺ V − 1 ( a ) + V 1 ( b ) = 2 V 0 ( a + b 2 ) V − 1 ( a − b 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sen}(a)-\operatorname {sen}(b)&=&2\cos \left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{-1}(a)+V_{1}(b)&=&2V_{\tfrac {-1+1}{2}}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{\tfrac {-1-1}{2}}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\iff \\\iff V_{-1}(a)+V_{1}(b)&=&2V_{0}\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)V_{-1}\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\end{cases}}}
É também possível transformar produto de gerais em soma de gerais. Isto é feito da seguinte forma:
Para 2 termos, V a ( x ) V b ( y ) = 1 2 [ V a + b ( x + y ) + V a − b ( x − y ) ] {\displaystyle V_{a}(x)V_{b}(y)={\tfrac {1}{2}}[V_{a+b}(x+y)+V_{a-b}(x-y)]} Para 3 termos, V a ( x ) V b ( y ) V c ( z ) = 1 4 [ V a + b + c ( x + y + z ) + V a + b − c ( x + y − z ) + V a − b + c ( x − y + z ) + V a − b − c ( x − y − z ) ] {\displaystyle V_{a}(x)V_{b}(y)V_{c}(z)={\tfrac {1}{4}}[V_{a+b+c}(x+y+z)+V_{a+b-c}(x+y-z)+V_{a-b+c}(x-y+z)+V_{a-b-c}(x-y-z)]} Para 4 termos, V a ( w ) V b ( x ) V c ( y ) V d ( z ) = 1 8 [ V a + b + c + d ( w + x + y + z ) + V a + b + c − d ( w + x + y − z ) + + V a + b − c + d ( w + x − y + z ) + V a + b − c − d ( w + x − y − z ) + + V a − b + c + d ( w − x + y + z ) + V a − b + c − d ( w − x + y − z ) + + V a − b − c + d ( w − x − y + z ) + V a − b − c − d ( w − x − y − z ) ] {\displaystyle V_{a}(w)V_{b}(x)V_{c}(y)V_{d}(z)={\frac {1}{8}}\left[{\begin{array}{c}V_{a+b+c+d}(w+x+y+z)+V_{a+b+c-d}(w+x+y-z)+\\+V_{a+b-c+d}(w+x-y+z)+V_{a+b-c-d}(w+x-y-z)+\\+V_{a-b+c+d}(w-x+y+z)+V_{a-b+c-d}(w-x+y-z)+\\+V_{a-b-c+d}(w-x-y+z)+V_{a-b-c-d}(w-x-y-z)\end{array}}\right]} Para 5 termos, V a ( v ) V b ( w ) V c ( x ) V d ( y ) V e ( z ) = 1 16 [ V a + b + c + d + e ( v + w + x + y + z ) + V a + b + c + d − e ( v + w + x + y − z ) + + V a + b + c − d + e ( v + w + x − y + z ) + V a + b + c − d − e ( v + w + x − y − z ) + + V a + b − c + d + e ( v + w − x + y + z ) + V a + b − c + d − e ( v + w − x + y − z ) + + V a + b − c − d + e ( v + w − x − y + z ) + V a + b − c − d − e ( v + w − x − y − z ) + + V a − b + c + d + e ( v − w + x + y + z ) + V a − b + c + d − e ( v − w + x + y − z ) + + V a − b + c − d + e ( v − w + x − y + z ) + V a − b + c − d − e ( v − w + x − y − z ) + + V a − b − c + d + e ( v − w − x + y + z ) + V a − b − c + d − e ( v − w − x + y − z ) + + V a − b − c − d + e ( v − w − x − y + z ) + V a − b − c − d − e ( v − w − x − y − z ) ] {\displaystyle V_{a}(v)V_{b}(w)V_{c}(x)V_{d}(y)V_{e}(z)={\frac {1}{16}}\left[{\begin{array}{c}V_{a+b+c+d+e}(v+w+x+y+z)+V_{a+b+c+d-e}(v+w+x+y-z)+\\+V_{a+b+c-d+e}(v+w+x-y+z)+V_{a+b+c-d-e}(v+w+x-y-z)+\\+V_{a+b-c+d+e}(v+w-x+y+z)+V_{a+b-c+d-e}(v+w-x+y-z)+\\+V_{a+b-c-d+e}(v+w-x-y+z)+V_{a+b-c-d-e}(v+w-x-y-z)+\\+V_{a-b+c+d+e}(v-w+x+y+z)+V_{a-b+c+d-e}(v-w+x+y-z)+\\+V_{a-b+c-d+e}(v-w+x-y+z)+V_{a-b+c-d-e}(v-w+x-y-z)+\\+V_{a-b-c+d+e}(v-w-x+y+z)+V_{a-b-c+d-e}(v-w-x+y-z)+\\+V_{a-b-c-d+e}(v-w-x-y+z)+V_{a-b-c-d-e}(v-w-x-y-z)\end{array}}\right]} Repare a sequência binária nos sinais '+' e '-'. Para 3 termos, por exemplo, note que os sinais entre 'a', 'b' e 'c' se comportam da seguinte maneira: ++, +-, -+, --. O comportamento binário é observado para qualquer quantidade de termos. Tal formulação é bastante vantajosa para um alto número de termos, encontrados, entre outros, no estudo de máquinas elétricas (como no cálculo do torque eletromagnético, que demanda 3 termos) - a qual seria de difícil obtenção através dos meios tradicionais.
Exemplos:
Produto do seno com o cosseno: { sen ( a ) cos ( b ) = 1 2 [ sen ( a + b ) + sen ( a − b ) ] ⟺ ⟺ V − 1 ( a ) V 0 ( b ) = 1 2 [ V − 1 + 0 ( a + b ) + V − 1 − 0 ( a − b ) ] ⟺ ⟺ V − 1 ( a ) V 0 ( b ) = 1 2 [ V − 1 ( a + b ) + V − 1 ( a − b ) ] {\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sen}(a)\cos(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[\operatorname {sen}(a+b)+\operatorname {sen}(a-b)]\iff \\\iff V_{-1}(a)V_{0}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{-1+0}(a+b)+V_{-1-0}(a-b)]\iff \\\iff V_{-1}(a)V_{0}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{-1}(a+b)+V_{-1}(a-b)]\end{cases}}} Produto de cossenos: { cos ( a ) cos ( b ) = 1 2 [ cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ] ⟺ ⟺ V 0 ( a ) V 0 ( b ) = 1 2 [ V 0 + 0 ( a + b ) + V 0 − 0 ( a − b ) ] ⟺ ⟺ V 0 ( a ) V 0 ( b ) = 1 2 [ V 0 ( a + b ) + V 0 ( a − b ) ] {\displaystyle {\begin{cases}\cos(a)\cos(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]\iff \\\iff V_{0}(a)V_{0}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{0+0}(a+b)+V_{0-0}(a-b)]\iff \\\iff V_{0}(a)V_{0}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{0}(a+b)+V_{0}(a-b)]\end{cases}}} Produto do cosseno com o seno: { cos ( a ) sen ( b ) = 1 2 [ sen ( a + b ) − sen ( a − b ) ] ⟺ ⟺ V 0 ( a ) V − 1 ( b ) = 1 2 [ V 0 − 1 ( a + b ) + V 0 + 1 ( a − b ) ] ⟺ ⟺ V 0 ( a ) V − 1 ( b ) = 1 2 [ V − 1 ( a + b ) + V 1 ( a − b ) ] ⟺ ⟺ V 0 ( a ) V − 1 ( b ) = 1 2 [ V − 1 ( a + b ) − V − 1 ( a − b ) ] {\displaystyle {\begin{cases}\cos(a)\operatorname {sen}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[\operatorname {sen}(a+b)-\operatorname {sen}(a-b)]\iff \\\iff V_{0}(a)V_{-1}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{0-1}(a+b)+V_{0+1}(a-b)]\iff \\\iff V_{0}(a)V_{-1}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{-1}(a+b)+V_{1}(a-b)]\iff \\\iff V_{0}(a)V_{-1}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{-1}(a+b)-V_{-1}(a-b)]\end{cases}}} Produto de senos: { sen ( a ) sen ( b ) = 1 2 [ cos ( a − b ) − cos ( a + b ) ] ⟺ ⟺ V − 1 ( a ) V − 1 ( b ) = 1 2 [ V − 1 − 1 ( a + b ) + V − 1 + 1 ( a − b ) ] ⟺ ⟺ V − 1 ( a ) V − 1 ( b ) = 1 2 [ V − 2 ( a + b ) + V 0 ( a − b ) ] ⟺ ⟺ V − 1 ( a ) V − 1 ( b ) = 1 2 [ − V 0 ( a + b ) + V 0 ( a − b ) ] {\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sen}(a)\operatorname {sen}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]\iff \\\iff V_{-1}(a)V_{-1}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{-1-1}(a+b)+V_{-1+1}(a-b)]\iff \\\iff V_{-1}(a)V_{-1}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[V_{-2}(a+b)+V_{0}(a-b)]\iff \\\iff V_{-1}(a)V_{-1}(b)&=&{\tfrac {1}{2}}[-V_{0}(a+b)+V_{0}(a-b)]\end{cases}}}
Soma de arcos Para uma geral de dado arco, é possível decompô-la em soma de produtos de gerais de outros arcos.
Em 2 arcos, V a ( x + y ) = V a ( x ) V 0 ( y ) + V a + 1 ( x ) V − 1 ( y ) {\displaystyle V_{a}(x+y)=V_{a}(x)V_{0}(y)+V_{a+1}(x)V_{-1}(y)} Em 3 arcos, V a ( x + y + z ) = V a ( x ) V 0 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 1 ( x ) V 0 ( y ) V − 1 ( z ) + V a + 1 ( x ) V − 1 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 2 ( x ) V − 1 ( y ) V − 1 ( z ) {\displaystyle V_{a}(x+y+z)=V_{a}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+1}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+V_{a+1}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+2}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)} Em 4 arcos, V a ( w + x + y + z ) = ( V a ( w ) V 0 ( x ) V 0 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 1 ( w ) V 0 ( x ) V 0 ( y ) V − 1 ( z ) + + V a + 1 ( w ) V 0 ( x ) V − 1 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 2 ( w ) V 0 ( x ) V − 1 ( y ) V − 1 ( z ) + + V a + 1 ( w ) V − 1 ( x ) V 0 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 2 ( w ) V − 1 ( x ) V 0 ( y ) V − 1 ( z ) + + V a + 2 ( w ) V − 1 ( x ) V − 1 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 3 ( w ) V − 1 ( x ) V − 1 ( y ) V − 1 ( z ) ) {\displaystyle V_{a}(w+x+y+z)=\left({\begin{array}{c}V_{a}(w)V_{0}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+1}(w)V_{0}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+1}(w)V_{0}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+2}(w)V_{0}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+1}(w)V_{-1}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+2}(w)V_{-1}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+2}(w)V_{-1}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+3}(w)V_{-1}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)\\\end{array}}\right)} Em 5 arcos, V a ( v + w + x + y + z ) = ( V a ( v ) V 0 ( w ) V 0 ( x ) V 0 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 1 ( v ) V 0 ( w ) V 0 ( x ) V 0 ( y ) V − 1 ( z ) + + V a + 1 ( v ) V 0 ( w ) V 0 ( x ) V − 1 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 2 ( v ) V 0 ( w ) V 0 ( x ) V − 1 ( y ) V − 1 ( z ) + + V a + 1 ( v ) V 0 ( w ) V − 1 ( x ) V 0 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 2 ( v ) V 0 ( w ) V − 1 ( x ) V 0 ( y ) V − 1 ( z ) + + V a + 2 ( v ) V 0 ( w ) V − 1 ( x ) V − 1 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 3 ( v ) V 0 ( w ) V − 1 ( x ) V − 1 ( y ) V − 1 ( z ) + + V a + 2 ( v ) V − 1 ( w ) V 0 ( x ) V 0 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 2 ( v ) V − 1 ( w ) V 0 ( x ) V 0 ( y ) V − 1 ( z ) + + V a + 3 ( v ) V − 1 ( w ) V 0 ( x ) V − 1 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 3 ( v ) V − 1 ( w ) V 0 ( x ) V − 1 ( y ) V − 1 ( z ) + + V a + 3 ( v ) V − 1 ( w ) V − 1 ( x ) V 0 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 3 ( v ) V − 1 ( w ) V − 1 ( x ) V 0 ( y ) V − 1 ( z ) + + V a + 3 ( v ) V − 1 ( w ) V − 1 ( x ) V − 1 ( y ) V 0 ( z ) + V a + 4 ( v ) V − 1 ( w ) V − 1 ( x ) V − 1 ( y ) V − 1 ( z ) ) {\displaystyle V_{a}(v+w+x+y+z)=\left({\begin{array}{c}V_{a}(v)V_{0}(w)V_{0}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+1}(v)V_{0}(w)V_{0}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+1}(v)V_{0}(w)V_{0}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+2}(v)V_{0}(w)V_{0}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+1}(v)V_{0}(w)V_{-1}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+2}(v)V_{0}(w)V_{-1}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+2}(v)V_{0}(w)V_{-1}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+3}(v)V_{0}(w)V_{-1}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+2}(v)V_{-1}(w)V_{0}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+2}(v)V_{-1}(w)V_{0}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+3}(v)V_{-1}(w)V_{0}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+3}(v)V_{-1}(w)V_{0}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+3}(v)V_{-1}(w)V_{-1}(x)V_{0}(y)V_{0}(z)+V_{a+3}(v)V_{-1}(w)V_{-1}(x)V_{0}(y)V_{-1}(z)+\\+V_{a+3}(v)V_{-1}(w)V_{-1}(x)V_{-1}(y)V_{0}(z)+V_{a+4}(v)V_{-1}(w)V_{-1}(x)V_{-1}(y)V_{-1}(z)\end{array}}\right)} Note a sequência binária na base das funções gerais V(y) e V(z): 00, 0(-1), (-1)0, (-1)(-1). O comportamento binário é observado para qualquer 'n'. A base da função geral da esquerda, V(x), altera-se, em cada termo da soma para manter igual a soma das bases iguais à base inicial:
No caso, para 2 arcos, note que, na base, tem-se: { a + 0 + 0 = a ( a + 1 ) + 0 + ( − 1 ) = a ( a + 1 ) + ( − 1 ) + 0 = a ( a + 2 ) + ( − 1 ) + ( − 1 ) = a {\displaystyle {\begin{cases}a+0+0=a\\(a+1)+0+(-1)=a\\(a+1)+(-1)+0=a\\(a+2)+(-1)+(-1)=a\end{cases}}} Exemplos :
Cosseno da soma: { cos ( a + b ) = cos ( a ) cos ( b ) − sen ( a ) sen ( b ) ⟺ ⟺ V 0 ( a + b ) = V 0 ( a ) V 0 ( b ) + V 0 + 1 ( a ) V − 1 ( b ) ⟺ ⟺ V 0 ( a + b ) = V 0 ( a ) V 0 ( b ) + V 1 ( a ) V − 1 ( b ) ⟺ ⟺ V 0 ( a + b ) = V 0 ( a ) V 0 ( b ) − V − 1 ( a ) V − 1 ( b ) {\displaystyle {\begin{cases}\cos(a+b)&=&\cos(a)\cos(b)-\operatorname {sen}(a)\operatorname {sen}(b)\iff \\\iff V_{0}(a+b)&=&V_{0}(a)V_{0}(b)+V_{0+1}(a)V_{-1}(b)\iff \\\iff V_{0}(a+b)&=&V_{0}(a)V_{0}(b)+V_{1}(a)V_{-1}(b)\iff \\\iff V_{0}(a+b)&=&V_{0}(a)V_{0}(b)-V_{-1}(a)V_{-1}(b)\end{cases}}} Seno da soma: { sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( b ) + cos ( a ) sen ( b ) ⟺ ⟺ V − 1 ( a + b ) = V − 1 ( a ) V 0 ( b ) + V − 1 + 1 ( a ) V − 1 ( b ) ⟺ ⟺ V − 1 ( a + b ) = V − 1 ( a ) V 0 ( b ) + V 0 ( a ) V − 1 ( b ) {\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sen}(a+b)&=&\operatorname {sen}(a)\cos(b)+\cos(a)\operatorname {sen}(b)\iff \\\iff V_{-1}(a+b)&=&V_{-1}(a)V_{0}(b)+V_{-1+1}(a)V_{-1}(b)\iff \\\iff V_{-1}(a+b)&=&V_{-1}(a)V_{0}(b)+V_{0}(a)V_{-1}(b)\end{cases}}} Seno da diferença: { sen ( a − b ) = sen ( a ) cos ( b ) − cos ( a ) sen ( b ) ⟺ ⟺ V − 1 ( a − b ) = V − 1 ( a ) V 0 ( − b ) + V − 1 + 1 ( a ) V − 1 ( − b ) ⟺ ⟺ V − 1 ( a − b ) = V − 1 ( a ) V 0 ( b ) − V 0 ( a ) V − 1 ( b ) {\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sen}(a-b)&=&\operatorname {sen}(a)\cos(b)-\cos(a)\operatorname {sen}(b)\iff \\\iff V_{-1}(a-b)&=&V_{-1}(a)V_{0}(-b)+V_{-1+1}(a)V_{-1}(-b)\iff \\\iff V_{-1}(a-b)&=&V_{-1}(a)V_{0}(b)-V_{0}(a)V_{-1}(b)\end{cases}}} Cosseno da diferença: { cos ( a − b ) = cos ( a ) cos ( b ) + sen ( a ) sen ( b ) ⟺ ⟺ V 0 ( a − b ) = V 0 ( a ) V 0 ( − b ) + V 0 + 1 ( a ) V − 1 ( − b ) ⟺ ⟺ V 0 ( a − b ) = V 0 ( a ) V 0 ( − b ) + V 1 ( a ) V − 1 ( − b ) ⟺ ⟺ V 0 ( a − b ) = V 0 ( a ) V 0 ( b ) + V − 1 ( a ) V − 1 ( b ) {\displaystyle {\begin{cases}\cos(a-b)&=&\cos(a)\cos(b)+\operatorname {sen}(a)\operatorname {sen}(b)\iff \\\iff V_{0}(a-b)&=&V_{0}(a)V_{0}(-b)+V_{0+1}(a)V_{-1}(-b)\iff \\\iff V_{0}(a-b)&=&V_{0}(a)V_{0}(-b)+V_{1}(a)V_{-1}(-b)\iff \\\iff V_{0}(a-b)&=&V_{0}(a)V_{0}(b)+V_{-1}(a)V_{-1}(b)\end{cases}}}
Soma de arcos defasados com ângulo comum variável Seja f ( x ) {\displaystyle f(x)} uma função de natureza exponencial (seja real ou complexa).
Exemplos:
f ( x ) = ∑ i A i V α i ( x − β i ) {\displaystyle f(x)=\sum _{i}A_{i}V_{\alpha _{i}}(x-\beta _{i})} f ( x ) = ∑ i A i e j ( x + α i ) + ∑ i B i e j ( − x + β i ) {\displaystyle f(x)=\sum _{i}A_{i}e^{j(x+\alpha _{i})}+\sum _{i}B_{i}e^{j(-x+\beta _{i})}} f ( x ) {\displaystyle f(x)} é um fasor É válida a seguinte identidade:
f ( x ) = f ( 0 ) ⋅ V 0 ( x ) + f ′ ( 0 ) ⋅ V − 1 ( x ) {\displaystyle f(x)=f(0)\cdot V_{0}(x)+f'(0)\cdot V_{-1}(x)}
Como a função foi decomposta em soma ponderada de seno e cosseno com ângulo comum variável em função de x, pode-se juntar os dois arcos da seguinte forma:
A V 0 ( x ) + B V − 1 ( x ) = sgn ( A ) A 2 + B 2 V 0 ( x − tan − 1 B A ) {\displaystyle AV_{0}(x)+BV_{-1}(x)=\operatorname {sgn}(A){\sqrt {A^{2}+B^{2}}}V_{0}\left(x-\tan ^{-1}{\frac {B}{A}}\right)}
Fórmulas de arco múltiplo Tn é o enésimo Polinômio de Chebyshev cos n θ = T n ( cos θ ) {\displaystyle \cos n\theta =T_{n}(\cos \theta )} [ 19] S n é o enésimo polinômio de abertura sen 2 n θ = S n ( sen 2 θ ) {\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}n\theta =S_{n}(\operatorname {sen} ^{2}\theta )} Fórmula de De Moivre , i {\displaystyle i} é a unidade imaginária cos n θ + i sen n θ = ( cos ( θ ) + i sen ( θ ) ) n {\displaystyle \cos n\theta +i\operatorname {sen} n\theta =(\cos(\theta )+i\operatorname {sen}(\theta ))^{n}} [ 20]
É possível obter as funções trigonométricas quando temos um ângulo sendo multiplicado ou divido, conforme as fórmulas da tabela abaixo.
A seguir temos as demonstrações dessas propriedades.
Fórmulas de arco duplo[ 21] [ 22] sen 2 θ = 2 sen θ cos θ = 2 tan θ 1 + tan 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} 2\theta &=2\operatorname {sen} \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}} cos 2 θ = cos 2 θ − sen 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sen 2 θ = 1 − tan 2 θ 1 + tan 2 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}} tan 2 θ = 2 tan θ 1 − tan 2 θ {\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}} cot 2 θ = cot 2 θ − 1 2 cot θ {\displaystyle \cot 2\theta ={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}} Fórmulas de arco triplo[ 19] [ 23] sen 3 θ = 3 cos 2 θ sen θ − sen 3 θ = 3 sen θ − 4 sen 3 θ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} 3\theta &=3\cos ^{2}\theta \operatorname {sen} \theta -\operatorname {sen} ^{3}\theta \\&=3\operatorname {sen} \theta -4\operatorname {sen} ^{3}\theta \end{aligned}}} cos 3 θ = cos 3 θ − 3 sen 2 θ cos θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 3\theta &=\cos ^{3}\theta -3\operatorname {sen} ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}} tan 3 θ = 3 tan θ − tan 3 θ 1 − 3 tan 2 θ {\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}} cot 3 θ = 3 cot θ − cot 3 θ 1 − 3 cot 2 θ {\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}} Fórmulas de arco metade[ 24] [ 25] sen θ 2 = sgn ( 2 π − θ + 4 π ⌊ θ 4 π ⌋ ) 1 − cos θ 2 ( o u sen 2 θ 2 = 1 − cos θ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \!\!\left(\!\!2\pi \!-\!\theta \!+\!4\pi \!\left\lfloor \!{\frac {\theta }{4\pi }}\!\right\rfloor \!\right)\!\!{\sqrt {\frac {1\!-\!\cos \theta }{2}}}\\\\&\left(\mathrm {ou} \,\,\operatorname {sen} ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}} cos θ 2 = sgn ( π + θ + 4 π ⌊ π − θ 4 π ⌋ ) 1 + cos θ 2 ( o u cos 2 θ 2 = 1 + cos θ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \!\!\left(\!\!\pi \!+\!\theta \!+\!4\pi \!\left\lfloor \!{\frac {\pi \!-\!\theta }{4\pi }}\!\right\rfloor \!\right)\!\!{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&\left(\mathrm {ou} \,\,\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}} tan θ 2 = csc θ − cot θ = ± 1 − cos θ 1 + cos θ = sen θ 1 + cos θ = 1 − cos θ sen θ tan η + θ 2 = sen η + sen θ cos η + cos θ tan ( θ 2 + π 4 ) = sec θ + tan θ 1 − sen θ 1 + sen θ = 1 − tan ( θ / 2 ) 1 + tan ( θ / 2 ) tan 1 2 θ = tan θ 1 + 1 + tan 2 θ para θ ∈ ( − π 2 , π 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\operatorname {sen} \eta +\operatorname {sen} \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\operatorname {sen} \theta }{1+\operatorname {sen} \theta }}}&={\frac {1-\tan(\theta /2)}{1+\tan(\theta /2)}}\\[8pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\mbox{para}}\quad \theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}} cot θ 2 = csc θ + cot θ = ± 1 + cos θ 1 − cos θ = sen θ 1 − cos θ = 1 + cos θ sen θ {\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1-\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1+\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\end{aligned}}}
Fórmulas da duplicação de ângulos
Seno do dobro Para calcular o seno de um arco do tipo 2. a {\displaystyle 2.{\text{a}}} utiliza-se a fórmula:
sen ( 2 a ) = 2. sen a . cos a {\displaystyle \operatorname {sen}(2{\text{a}})=2.\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{a}}}
Demonstração :
Seja sen ( 2. a ) = sen ( a + a ) , {\displaystyle \operatorname {sen}(2.{\text{a}})=\operatorname {sen}({\text{a}}+{\text{a}}),} podemos aplicar a fórmula do seno da soma, de modo que:
sen ( a + a ) = sen a . cos a + sen a . cos a {\displaystyle \operatorname {sen}({\text{a}}+{\text{a}})=\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{a}}+\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{a}}}
Logo:
sen ( 2 a ) = 2. sen a . cos a {\displaystyle \operatorname {sen}(2{\text{a}})=2.\operatorname {sen} {\text{a}}.\cos {\text{a}}}
Cosseno do dobro Para calcular o cosseno de um arco do tipo 2. a {\displaystyle 2.{\text{a}}} pode-se utilizar as seguintes fórmulas:
cos ( 2 a ) = cos 2 a − sen 2 a {\displaystyle \cos(2{\text{a}})=\cos ^{2}{\text{a}}-\operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}} Demonstração:
Seja cos ( 2. a ) = cos ( a + a ) {\displaystyle \cos(2.{\text{a}})=\cos({\text{a}}+{\text{a}})} podemos aplicar a fórmula do cosseno da soma para obter:
cos ( a + a ) = cos a . cos a − sen a . sen a {\displaystyle \cos({\text{a}}+{\text{a}})=\cos {\text{a}}.\cos {a}-\operatorname {sen} {\text{a}}.\operatorname {sen} {\text{a}}}
Logo:
cos ( 2 a ) = cos 2 a − sen 2 a {\displaystyle \cos(2{\text{a}})=\cos ^{2}{\text{a}}-\operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}}
cos ( 2 a ) = 2. cos 2 a − 1 {\displaystyle \cos(2{\text{a}})=2.\cos ^{2}{\text{a}}-1} Demonstração:
Seja a relação fundamental cos 2 a + sen 2 a = 1 , {\displaystyle \cos ^{2}{\text{a}}+\operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}=1,} já demonstrada, temos que sen 2 a = 1 − cos 2 a {\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}=1-\cos ^{2}{\text{a}}}
Aplicando-se essa relação na fórmula demonstrada acima temos:
cos ( 2 a ) = cos 2 a − ( 1 − cos 2 a ) = cos 2 a − 1 + cos 2 a {\displaystyle \cos(2{\text{a}})=\cos ^{2}{\text{a}}-(1-\cos ^{2}{\text{a}})=\cos ^{2}{\text{a}}-1+\cos ^{2}{\text{a}}}
Logo:
cos ( 2 a ) = 2. cos 2 a − 1 {\displaystyle \cos(2{\text{a}})=2.\cos ^{2}{\text{a}}-1}
cos ( 2 a ) = 1 − 2. sen 2 a {\displaystyle \cos(2{\text{a}})=1-2.\operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}} Demonstração
Seja a relação fundamental cos 2 a + sen 2 a = 1 , {\displaystyle \cos ^{2}{\text{a}}+\operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}=1,} temos que cos 2 a = 1 − sen 2 a {\displaystyle \cos ^{2}{\text{a}}=1-\operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}}
Ao aplicarmos isso na fórmula cos ( 2 a ) = cos 2 a − sen 2 a , {\displaystyle \cos(2{\text{a}})=\cos ^{2}{\text{a}}-\operatorname {sen} ^{2}{\text{a}},} temos:
cos ( 2 a ) = 1 − sen 2 a − sen 2 a {\displaystyle \cos(2{\text{a}})=1-\operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}-\operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}}
Logo:
cos ( 2 a ) = 1 − 2. sen 2 a {\displaystyle \cos(2{\text{a}})=1-2.\operatorname {sen} ^{2}{\text{a}}}
Tangente do dobro Para calcular a tangente de um arco do tipo 2. a {\displaystyle 2.{\text{a}}} pode-se utilizar a seguinte fórmula:
tan ( 2 a ) = 2. tan a 1 − tan a {\displaystyle \tan(2{\text{a}})={\frac {2.\tan {\text{a}}}{1-\tan {\text{a}}}}}
Demonstração:
Seja tan ( 2. a ) = tan ( a + a ) , {\displaystyle \tan(2.{\text{a}})=\tan({\text{a}}+{\text{a}}),} podemos aplicar a fórmula da tangente da soma:
tan ( a + a ) = tan a + tan a 1 − tan a . tan a {\displaystyle \tan({\text{a}}+{\text{a}})={\frac {\tan {\text{a}}+\tan {\text{a}}}{1-\tan {\text{a}}.\tan {\text{a}}}}}
Logo:
tan ( 2 a ) = 2. tan a 1 − tan 2 a {\displaystyle \tan(2{\text{a}})={\frac {2.\tan {\text{a}}}{1-\tan ^{2}{\text{a}}}}}
Fórmulas da divisão do ângulo em dois
Seno da divisão Para calcular o seno da metade de um arco, utiliza-se a seguinte fórmula:
sen ( a 2 ) = ± 1 − cos a 2 {\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\text{a}}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos {\text{a}}}{2}}}}
Demonstração:
Sabendo que cos ( 2. x ) = 1 − 2. sen 2 x , {\displaystyle \cos(2.{\text{x}})=1-2.\operatorname {sen} ^{2}{\text{x}},} podemos definir x = a 2 {\displaystyle x={\frac {\text{a}}{2}}} de modo a reescrever:
cos ( a ) = 1 − 2. sen 2 ( a 2 ) {\displaystyle \cos({\text{a}})=1-2.\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {\text{a}}{2}}\right)}
Logo, isolando sen ( a 2 ) {\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\text{a}}{2}}\right)} temos:
sen ( a 2 ) = ± 1 − cos a 2 {\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\text{a}}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos {\text{a}}}{2}}}}
Cosseno da divisão Para calcular o cosseno da metade de um arco, utiliza-se a seguinte fórmula:
cos ( a 2 ) = ± cos a + 1 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\text{a}}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {\cos {\text{a}}+1}{2}}}}
Demonstração :
Sabendo que cos ( 2 x ) = 2. cos 2 x − 1 {\displaystyle \cos(2{\text{x}})=2.\cos ^{2}{\text{x}}-1} podemos definir x = a 2 , {\displaystyle x={\frac {\text{a}}{2}},} de modo a reescrever:
cos a = 2. cos 2 ( a 2 ) − 1 {\displaystyle \cos {\text{a}}=2.\cos ^{2}\left({\frac {\text{a}}{2}}\right)-1}
Portanto, isolando cos ( a 2 ) {\displaystyle \cos \left({\frac {\text{a}}{2}}\right)} temos:
cos ( a 2 ) = ± cos a + 1 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\text{a}}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {\cos {\text{a}}+1}{2}}}}
Tangente da divisão Para calcular a tangente da metade de um arco, utiliza-se a fórmula:
tan ( a 2 ) = ± 1 − cos a 1 + cos a {\displaystyle \tan \left({\frac {\text{a}}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos {\text{a}}}{1+\cos {\text{a}}}}}}
Demonstração :
Para demonstrar essa fórmula utilizaremos as duas fórmulas demonstradas acima, da seguinte forma:
tan ( a 2 ) = sen ( a 2 ) cos ( a 2 ) = ± 1 − cos a 2 ± cos a + 1 2 = ± 1 − cos a 2 cos a + 1 2 = ± 1 − cos a 2 . 2 cos a + 1 {\displaystyle \tan \left({\frac {\text{a}}{2}}\right)={\frac {\operatorname {sen} \left({\frac {\text{a}}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {\text{a}}{2}}\right)}}={\frac {\pm {\sqrt {\frac {1-\cos {\text{a}}}{2}}}}{\pm {\sqrt {\frac {\cos {\text{a}}+1}{2}}}}}=\pm {\sqrt {\frac {\frac {1-\cos {\text{a}}}{2}}{\frac {\cos {\text{a}}+1}{2}}}}=\pm {\sqrt {{\frac {1-\cos {\text{a}}}{2}}.{\frac {2}{\cos {\text{a}}+1}}}}}
Logo:
tan ( a 2 ) = ± 1 − cos a 1 + cos a {\displaystyle \tan \left({\frac {\text{a}}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos {\text{a}}}{1+\cos {\text{a}}}}}}
Note que, para esses três casos, ± {\displaystyle \pm } significa que pode haver qualquer dos dois sinais, dependendo do valor de A / 2. {\displaystyle A/2.} [ 1]
Fórmulas de redução de potências Resolve-se com as fórmulas de duplo ângulo, isolando-se: cos 2 θ e sen 2 θ . {\displaystyle \cos ^{2}\theta \,{\text{e}}\operatorname {sen} ^{2}\theta \,{\text{.}}}
cos 2 θ = ( 1 + cos ( 2 θ ) 2 ) {\displaystyle \cos ^{2}\theta =\left({\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}\right)} sen 2 θ = ( 1 − cos ( 2 θ ) 2 ) {\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta =\left({\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\right)}
Produto para soma e soma para produto Os produtos para somas e somas para produto podem ser provados por meio de substituições nos teoremas de adição.
Produto para soma[ 26] cos θ cos φ = cos ( θ − φ ) + cos ( θ + φ ) 2 {\displaystyle \cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}} sen θ sen φ = cos ( θ − φ ) − cos ( θ + φ ) 2 {\displaystyle \operatorname {sen} \theta \operatorname {sen} \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}} sen θ cos φ = sen ( θ + φ ) + sen ( θ − φ ) 2 {\displaystyle \operatorname {sen} \theta \cos \varphi ={\operatorname {sen}(\theta +\varphi )+\operatorname {sen}(\theta -\varphi ) \over 2}} cos θ sen φ = sen ( θ + φ ) − sen ( θ − φ ) 2 {\displaystyle \cos \theta \operatorname {sen} \varphi ={\operatorname {sen}(\theta +\varphi )-\operatorname {sen}(\theta -\varphi ) \over 2}}
Soma para produto[ 27] sen θ ± sen φ = 2 sen ( θ ± φ 2 ) cos ( θ ∓ φ 2 ) {\displaystyle \operatorname {sen} \theta \pm \operatorname {sen} \varphi =2\operatorname {sen} \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)} cos θ + cos φ = 2 cos ( θ + φ 2 ) cos ( θ − φ 2 ) {\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)} cos θ − cos φ = − 2 sen ( θ + φ 2 ) sen ( θ − φ 2 ) {\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\operatorname {sen} \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\operatorname {sen} \left({\theta -\varphi \over 2}\right)}
Se as funções trigonométricas são definidas geometricamente, então suas derivadas podem ser encontradas primeiramente verificando que lim θ → 0 sen θ / θ = 1 {\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\operatorname {sen} \theta }/\theta =1} e então usando a definição por limite da derivada e os teoremas de adição; se eles são definidos por suas Séries de Taylor , então as derivadas podem ser encontradas pela diferenciação das séries de potências termo a termo.
∂ ∂ θ s e n θ = cos θ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\operatorname {sen\theta } =\cos \theta }
O restante das funções trigonométricas pode ser diferenciado usando as identidades acima e as regras de diferenciação , por exemplo
∂ ∂ θ cos θ = − sen θ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\cos \theta =-\operatorname {sen} \theta } ∂ ∂ θ tan θ = sec 2 θ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }
Definições exponenciais Função Função inversa[ 28] sen θ = e i θ − e − i θ 2 i {\displaystyle \operatorname {sen} \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}} arcsen x = − i ln ( i x + 1 − x 2 ) {\displaystyle \operatorname {arcsen} x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)} cos θ = e i θ + e − i θ 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}} arccos x = i ln ( x − i 1 − x 2 ) {\displaystyle \arccos x=i\,\ln \left(x-i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)} tan θ = e i θ − e − i θ i ( e i θ + e − i θ ) {\displaystyle \tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}} arctan x = i 2 ln ( i + x i − x ) {\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)} csc θ = 2 i e i θ − e − i θ {\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}} arccsc x = − i ln ( i x + 1 − 1 x 2 ) {\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)} sec θ = 2 e i θ + e − i θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}} arcsec x = − i ln ( 1 x + 1 − i x 2 ) {\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)} cot θ = i ( e i θ + e − i θ ) e i θ − e − i θ {\displaystyle \cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}} arccot x = i 2 ln ( x − i x + i ) {\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)} cis θ = e i θ {\displaystyle \operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }} arccis x = ln x i = − i ln x {\displaystyle \operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}=-i\ln x}
Ver também Referências ↑ a b c d e f g h Iezzi, Gelson (2004). Fundamentos de Matemática Elementar, trigonometria - 8 ed . [S.l.: s.n.] ISBN 9788535704570 ↑ Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45 ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15 ↑ «The Elementary Identities». Consultado em 17 de junho de 2012 . Arquivado do original em 30 de julho de 2017 ↑ Carmo, Manfredo Perdigão do (2005). Trigonometria/Números Complexos . Rio de Janeiro: SBM ↑ «Trigonometria: Arcos complementares» ↑ Dolce, Olsvaldo; Pompeo (2013). Fundamentos de matemática elementar 9: geometria plana 9 ed. São Paulo: Atual. 45 páginas. ISBN 9788535716863 ↑ «Razões trigonométricas de um ângulo agudo» ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9 ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8 ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16 ↑ a b c d Weisstein, Eric W. «Trigonometric Addition Formulas». MathWorld (em inglês) ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17 ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18 ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.19 ↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42 ↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43 ↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36 ↑ a b Weisstein, Eric W. «Multiple-Angle Formulas». MathWorld (em inglês) ↑ Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48 ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26 ↑ Weisstein, Eric W. «Double-Angle Formulas». MathWorld (em inglês) ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28 ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22 ↑ Weisstein, Eric W. «Half-Angle Formulas». MathWorld (em inglês) ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33 ↑ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39 ↑ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31