Integrador simplético

Em matemática, um integrador simplético (ou simpléctico) é um métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias para sistemas hamiltonianos.

Um sistema hamiltoniano é localmente descrito por um aberto ${\textstyle {\mathcal {P}}\subset \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {R} ^{N}}$ e uma função ${\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }$, onde ${\textstyle N}$ é o número de graus de liberdade do sistema, o espaço de fase é localmente homeomorfo ao conjunto ${\textstyle {\mathcal {P}}}$ e a função ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ é chamada de hamiltoniano do sistema. A evolução do sistema satisfaz às equações de Hamilton$${\displaystyle {\dot {q}}^{n}={\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}},\quad {\dot {p}}_{n}=-{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}.}$$Neste artigo a solução para essas equações será denotada por ${\textstyle (q(t),p(t))}$.

De acordo com o teorema de Liouville, dada uma região ${\textstyle \Omega }$ do espaço de fase, se cada ponto dessa região evolui de acordo com as equações de Hamilton então o volume dessa região é constante, essa é uma propriedade importante dos sistemas hamiltonianos e portanto temos interesse em encontrar métodos numéricos de integração que preservem essa propriedade, um integrador simplético respeita essa propriedade. Em outras palavras, a evolução do sistema é um simplectomorfismo e um integrador simplético é, por definição, um método cuja discretização é também um simplectomorfismo.^[1]

Dado que o integrador simplético respeita as propriedades geométricas do espaço de fase e das equações de Hamilton ele é indicado para o problema de muitos corpos e para integração de tempo longo em sistemas hamiltonianos, obtendo resultados consideravelmente satisfatórios se comparado com outros métodos como RK4.^[2]

Os integradores simpléticos de primeira ordem são ${\textstyle {\mathcal {O}}(\delta t)}$, onde ${\textstyle \delta t}$ é o tamanho do passo para discretização do tempo. Os métodos de primeira ordem são variantes do método de Euler ajustados de acordo com a geometria simplética do espaço de fase.

Euler simplético I:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }$
• ${\textstyle p(t+\delta t)}$ previamente estimado utilizando outro método (na primeira iteração).

${\displaystyle {\begin{cases}p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t),p(t+\delta t))}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t)+\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t),p(t+\delta t))}\end{cases}}}$

(1)

Euler simplético II:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }$
• ${\textstyle q(t+\delta t)}$ previamente estimado utilizando outro método (na primeira iteração).

${\displaystyle {\begin{cases}q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t)+\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t),p(t))}\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t),p(t))}\end{cases}}}$

(2)

Esses métodos são, em geral, implícitos, entretanto em alguns casos particulares eles dão lugar a métodos explícitos, por exemplo:

Euler semi-implícito:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}(q,p)=T(p)+V(q)}$

${\displaystyle {\begin{cases}p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t)}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t)+\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+\delta t)}\end{cases}}}$

(3)

Teorema I: Os métodos (1), (2) e (3) são simpléticos de ordem 1.

Demonstração: Cf. referências ^[1] e ^[3]. Note que o método (3) é um caso particular do método (1).

Os integradores simpléticos de segunda ordem são ${\textstyle {\mathcal {O}}(\delta t^{2})}$. Em geral, métodos de segunda ordem são variantes do método de Verlet, bem como o próprio método de Verlet.^[3]

Störmer-Verlet I:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }$
• ${\textstyle p(t+\delta t/2)}$ e ${\textstyle q(t+\delta t)}$ previamente estimados utilizando outro método (na primeira iteração).

${\displaystyle {\begin{cases}p_{n}(t+\delta t/2)&\approx p_{n}(t)-{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t),p(t+\delta t/2))}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t)+{\frac {\delta t}{2}}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t),p(t+\delta t/2))}+\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t),p(t+\delta t/2))}\right)\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t+\delta t/2)-{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t),p(t+\delta t/2))}\end{cases}}}$

(4)

Störmer-Verlet II:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}:{\mathcal {P}}\rightarrow \mathbb {R} }$
• ${\textstyle q(t+\delta t/2)}$ e ${\textstyle p(t+\delta t)}$ previamente estimados utilizando outro método (na primeira iteração).

${\displaystyle {\begin{cases}q^{n}(t+\delta t/2)&\approx q^{n}(t)+{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t/2),p(t))}\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-{\frac {\delta t}{2}}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t/2),p(t))}+\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t/2),p(t+\delta t))}\right)\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t+\delta t/2)+{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}{\mathcal {H}}\right\vert _{(q(t+\delta t/2),p(t+\delta t))}\end{cases}}}$

(5)

Como acontece para os métodos de Euler, o caso do hamiltoniano separável permite desenvolver métodos explícitos derivados desses, que são implícitos.

Verlet:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}(q,p)=T(p)+V(q)}$

${\displaystyle {\begin{cases}q^{n}(t+\delta t/2)&\approx q^{n}(t)+{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t)}\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t)-\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t+\delta t/2)}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t+\delta t/2)+{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+\delta t)}\end{cases}}}$

(6)

Teorema II: Os métodos (4), (5) e (6) são simpléticos de ordem 2.

Demonstração: Cf. referência ^[3] e ^[4]. Note que o método (6) é um caso particular do método (5).

Os integradores simpléticos de terceira ordem são ${\textstyle {\mathcal {O}}(\delta t^{3})}$.

Ronald D. Ruth:

• ${\textstyle {\mathcal {H}}(q,p)=T(p)+V(q)}$
• ${\textstyle c_{1}+c_{2}+c_{3}=1}$, ${\textstyle d_{1}+d_{2}+d_{3}=1}$, ${\textstyle c_{2}d_{1}+c_{3}(d_{1}+d_{2})=1/2}$, ${\textstyle c_{2}+d_{1}^{2}+c_{3}(d_{1}+d_{2})^{2}=1/3}$ e ${\textstyle d_{3}+d_{2}(c_{1}+c_{2})^{2}+d_{1}c_{1}^{2}=1/3}$.

${\displaystyle {\begin{cases}p_{n}(t+c_{1}\delta t)&\approx p_{n}(t)-c_{1}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t)}\\q^{n}(t+d_{1}\delta t)&\approx q^{n}(t)+d_{1}{\frac {\delta t}{2}}\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+c_{1}\delta t)}\\p_{n}(t+(c_{1}+c_{2})\delta t)&\approx p_{n}(t+c_{1}\delta t)-c_{2}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t+d_{1}\delta t)}\\q^{n}(t+(d_{1}+d_{2})\delta t)&\approx q^{n}(t+d_{1}\delta t)+d_{2}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+(c_{1}+c_{2})\delta t)}\\p_{n}(t+\delta t)&\approx p_{n}(t+(c_{1}+c_{2})\delta t)-c_{3}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}V\right\vert _{q(t+(d_{1}+d_{2})\delta t)}\\q^{n}(t+\delta t)&\approx q^{n}(t+)+d_{3}\delta t\left.{\frac {\partial }{\partial p_{n}}}T\right\vert _{p(t+\delta t)}\\\end{cases}}}$

(7)

Por exemplo: ${\textstyle c_{1}=7/24}$, ${\textstyle c_{2}=3/4}$, ${\textstyle c_{3}=-1/24}$, ${\textstyle d_{1}=2/3}$, ${\textstyle d_{2}=-2/3}$ e ${\textstyle d_{3}=1}$.

Teorema III: O método (7) é simplético de ordem 3.

Demonstração: Cf. referência ^[4].