Média metálica
Médias Metálicas | ||
---|---|---|
0 + √42 | 1 | |
1 + √52 | 1,618033989[a] | |
2 + √82 | 2,414213562[b] | |
3 + √132 | 3,302775638[c] | |
4 + √202 | 4,236067978[d] | |
5 + √292 | 5,192582404[e] | |
6 + √402 | 6,162277660[f] | |
7 + √532 | 7,140054945[g] | |
8 + √682 | 8,123105626[h] | |
9 + √852 | 9,109772229[i] | |
10 + √1042 | 10,09901951[j] | |
⋮ | ||
A média metálica, conhecida também como número metálico (ou com menos frequência, média de prata), é a forma mais simples das frações contínuas representadas [1][2][3] por:
Na qual n é um número natural (em linguagem matemática: ). A proporção áurea (φ = 1,618033989) é a média metálica de 1, bem como a proporção de prata ( = 2,414213562) é a média metálica de 2. Embora não tão comuns, são utilizados também os nomes número de bronze, número de cobre, número de níquel e número de platina para representar as médias metálicas de 3, 4, 5 e 6, respectivamente. O termo "metálico" provém dessa denominação.[4][5][6]
Ao lado, podemos ver uma tabela com os valores dos números metálicos de 0 a 10, com uma precisão de 9 algarismos significativos, além de seus valores na forma de radical.[7][8]
Definição
Cada número metálico pode ser descrito como a solução positiva da Equação do Segundo Grau a seguir: [9]
onde n é um número inteiro positivo qualquer. Esta raiz será a média metálica do número n, descrita por .
Assim, por exemplo, pode-se afirmar com segurança que
é um número metálico pois é solução da equação , o que pode ser facilmente averiguado fazendo uso da Fórmula de Bháskara. Ademais, podemos concluir que se trata do 48º número metálico, ou da média metálica de 48. Este valor é aproximadamente 48,0208243. [10]
Características dos números metálicos notáveis
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Pentagram-phi.svg/144px-Pentagram-phi.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Silver_ratio_octagon.svg/144px-Silver_ratio_octagon.svg.png)
Assim como o número de ouro tem relação com o pentágono (pela razão ), o número de prata tem relação com o octógono (também pela razão ). A razão áurea está conectada com os Números de Fibonacci, e o número de prata tem uma estreita relação com os Números de Pell. [11] Por propriedades advindas de suas relações com essas sequências, podemos dizer que cada número de Fibonacci é a soma do número anterior multiplicada por 1 adicionado do número antes desse,e cada número de Pell é a soma do número anterior multiplicada por 2 adicionado do número antes desse. A razão entre dois números de Fibonacci consecutivos converge para a razão áurea, bem como a razão entre dois números de Pell consecutivos converge para a razão de prata. [12]
Propriedades
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Gold%2C_silver%2C_and_bronze_rectangles.svg/200px-Gold%2C_silver%2C_and_bronze_rectangles.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Fibonacci_spiral_34.svg/120px-Fibonacci_spiral_34.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Silver_spiral_approximation.png/120px-Silver_spiral_approximation.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Bronze_spiral_approximation.png/120px-Bronze_spiral_approximation.png)
As propriedades são válidas apenas para números inteiros m, para números não-inteiros as propriedades são similares mas são sutilmente diferentes em alguns quesitos. [13] [4][14][15] A propriedade para potências do número de prata são consequências das propriedades das potências dos números metálicos. Para o número metálico S de m, essa propriedade pode ser descrita como uma recorrência linear de segunda ordem, possibilitando ser generalizada como
onde
Utilizando as condições iniciais K0 = 1 e K1 = m, essa relação de recorrência se transforma em
As potências dos números metálicos também possuem outras propriedades interessantes:[16][17]
- Se n é um número inteiro positivo:
Além disso,
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Golden_triangle_and_Fibonacci_spiral.svg/120px-Golden_triangle_and_Fibonacci_spiral.svg.png)
Tem-se também que:
Generalizando:
O número metálicoS de m também tem a propriedade seguinte:
O que significa que o inverso de um número metálico tem a mesma parte decimal de seu correspondente número metálico. Matematicamente, temos:
Para facilitar o desenvolvimento do raciocínio, seja e . Então, a propriedade seguinte pe verdadeira:[18]
Isso ocorre porque para todo m maior que 0 (), a parte inteira de Sm = m, a = m. Para m > 1, temos então:
Portanto (), concluímos que a média metálica de m é solução da equação
Também é importante e útil perceber que o número metálico S de −m é o inverso do número metálico S de m. Matematicamente:
Outro resultado interessante pode ser obtido mudando ligeiramente a fórmula do número metálico. Se considerarmos o número
segue que as seguintes propriedades também são verdadeiras:
- de c é real (),
- se c é um número complexo () com parte real nula, ou seja na forma c = ki, para todo k inteiro positivo ().
O número metálico de m também pode ser obtido a partir da integral [13] [19]
Representações
Além da forma clássica de apresentação, as médias metálicas podem ser representadas de outros modos. De forma alternativa, pode-se dizer utilizando os radicais contínuos que o número metálico S de m é dado por
Podemos representar as médias metálicas da seguinte maneira: [20]
Número de Prata:
Número de Bronze:
Número de Cobre:
Número de Níquel:
Número de Platina:
Os números metálicos também podem ser representados utilizando fração contínua e sua representação na forma reduzida.[21]
Números metálicos na Geometria
Poliedros
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Icosahedron-golden-rectangles.svg/324px-Icosahedron-golden-rectangles.svg.png)
Os números metálicos têm grande importância em diversas construções geométricas. Na Geometria Espacial, por exemplo, pode-se perceber diversas propriedades relacionadas a esses números. Para ilustrar isso, podemos citar o caso da presença de retângulos de ouro no 5º Poliedro de Platão (Icosaedro - poliedro regular que é composto por 20 faces triangulares idênticas).
Espiral de ouro
A espiral de ouro é uma espiral logarítmica cujo fator de crescimento b está relacionado a φ, a média metálica de 1. Mais especificamente, a espiral de ouro fica mais larga (cada vez mais a partir de sua origem) para um fator de &phi a cada quarto de volta que ela dá. A equação polar para a espiral de ouro é a mesma d outras espirais logarítmicas, mas como o valor especial de b: [22]
ou
sendo e a base do logaritmo natural (também chamado de logaritmo neperiano em homenagem a John Napier), a uma constante real positiva arbitrária e b tal que θ seja um ângulo reto (perpendicular, formando 90°), o que descreve um quarto de volta em qualquer direção: [23]
Portanto, b é dado por
O valor numérico de b depende se o ângulo reto está descrito em graus (como 90°) ou em radianos (como π/2). Uma vez que o ângulo pode estar em qualquer direção, é absolutamente fácil deduzir a fórmula para o valor absoluto de b (isto é, b também pode ser o negativo deste valor):
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/FakeRealLogSpiral.svg/400px-FakeRealLogSpiral.svg.png)
- para θ em graus;
- para θ em radianos.
onde a constante c é dada por:
Para o qual a espiral de ouro nos dá esses valores para c':
e
Áreas de figuras planas
Os números metálicos também tem uma curiosa é íntima relação com as áreas de polígonos convexos regulares. [14]
Pentágono Regular
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Star_polygon_5-1.svg/136px-Star_polygon_5-1.svg.png)
A Área de um pentágono regular pode ser representada em função da média metálica de 1 (no caso, o número de ouro). Temos:
Sendo A a área do pentágono.
Octógono Regular
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Star_polygon_8-1.svg/136px-Star_polygon_8-1.svg.png)
A Área de um pentágono regular pode ser representada em função da média metálica de 2 (no caso, o número de prata). Temos: [24][25]
Sendo A a área do octógono.
Números metálicos na Trigonometria
Os números metálicos também estão presentes em diversos valores utilizados nas principais relações trigonométricas (seno, cosseno e tangente). Podemos citar os seguintes valores trigonométricos:[26][27]
Notas
Referências
- ↑ Vera de Spinadel (1999). The Family of Metallic Means, Vismath 1(3) do Instituto de Matemática da Academia de Artes e Ciências da Sérvia
- ↑ Weisstein, Eric W. «Table of Silver means». MathWorld (em inglês)
- ↑ "An Introduction to Continued Fractions: The Silver Means", Maths.Surrey.ac.UK.
- ↑ a b Vera W. de Spinadel, "The Metallic Means and Design", pp. 141–157 in Nexus II: Architecture and Mathematics, ed. Kim Williams, Fucecchio (Florence): Edizioni dell'Erba, 1998.
- ↑ Constantes PHI, PI e E
- ↑ «[[Buenos Aires|Universidad de Buenos Aires]] - El número metálico». Consultado em 7 de janeiro de 2016. Arquivado do original em 18 de agosto de 2000
- ↑ OEIS
- ↑ Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009). The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science, p. 228, 231. World Scientific. ISBN 9789812775832
- ↑ Números irracionais
- ↑ Wolfram Alpha
- ↑ S. Douady and Y. Couder (1996). «Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process» (PDF). Journal of Theoretical Biology. 178 (178): 255–274. doi:10.1006/jtbi.1996.0026. Consultado em 7 de janeiro de 2016. Arquivado do original (PDF) em 26 de maio de 2006
- ↑ «História da matemática». Consultado em 7 de janeiro de 2016. Arquivado do original em 19 de setembro de 2014
- ↑ a b Números metálicos
- ↑ a b H. E. Huntley, The Divine Proportion - A study in mathematical beauty, Dover Publications Inc., New York, 1970.
- ↑ Ian Stewart, Las esculturas de Alan St. George, Investigación y Ciencia, July 1996.
- ↑ Vera W. de Spinadel. "The Family of Metallic Means." Visual Mathematics 1.3 (1999): 0–0.
- ↑ Nexus Conference Network Journal:Architeture and Mathematics
- ↑ Fibonacci-Numbers (Fibonacci-Zahlen), Homepage from Michael Becker. Página em alemão. Visitada 2014-01-28.
- ↑ Ilya Prigogine, El fin de las certidumbres, Andrés Bello, Chile, 1996.
- ↑ Metallic Means
- ↑ http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/maic/congreso/029%20Mesa%20redonda.pdf
- ↑ Números Metálicos - Fátima Vinagre - Escola Secundária de Azambuja
- ↑ THE FAMILY OF METALLIC MEANS
- ↑ [1]
- ↑ Matemática Mania
- ↑ «O número de ouro na trigonometria». Consultado em 7 de janeiro de 2016. Arquivado do original em 6 de abril de 2016
- ↑ Wolfram Alpha - seno de 36°
Portal da matemática