Matriz flecha

Na álgebra linear, uma matriz flecha ou matriz ponta de flecha é uma matriz quadrada que contém zeros em todas as entradas, exceto na primeira linha, primeira coluna e diagonal principal, essas entradas podem ser qualquer número.^[1][2] Em outras palavras, a matriz tem a forma

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\,\!*&*&*&*&*\\\,\!*&*&0&0&0\\\,\!*&0&*&0&0\\\,\!*&0&0&*&0\\\,\!*&0&0&0&*\end{bmatrix}}.}$

Qualquer permutação simétrica da matriz ponta de flecha, ${\displaystyle P^{T}AP}$, onde ${\displaystyle P}$ é uma matriz de permutação, é uma matriz ponta de flecha (permutada). Matrizes ponta de flecha reais simétricas são usadas em alguns algoritmos para encontrar autovalores e autovetores.^[3]

Seja ${\displaystyle A}$ uma matriz ponta de flecha real simétrica (permutada) da forma

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cc}D&z\\z^{T}&\alpha \end{array}}\right],}$

onde ${\displaystyle D=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n-1})}$ é a matriz diagonal de ordem n-1,

${\displaystyle z={\begin{bmatrix}\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n-1}\end{bmatrix}}^{T}}$ é um vetor e ${\displaystyle \alpha }$ é um escalar. Seja

${\displaystyle A=V\Lambda V^{T}}$

a decomposição de autovalores de ${\displaystyle A}$, onde ${\displaystyle \Lambda =\mathop {\mathrm {diag} } (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})}$

é uma matriz diagonal cujos elementos diagonais são os autovalores de ${\displaystyle A}$, e ${\displaystyle V={\begin{bmatrix}v_{1}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}}$

é uma matriz ortonormal cujas colunas são os autovetores correspondentes. O seguinte é válido:

• Se ${\displaystyle \zeta _{i}=0}$ para algum ${\displaystyle i}$, então o par ${\displaystyle (d_{i},e_{i})}$, onde ${\displaystyle e_{i}}$ é o i-ésimo vetor de base canônica, é um par próprio de ${\displaystyle A}$. Assim, todas essas linhas e colunas podem ser excluídas, deixando a matriz com todos ${\displaystyle \zeta _{i}\neq 0}$.
• O teorema do entrelaçamento de Cauchy implica que os autovalores classificados de ${\displaystyle A}$ entrelaçam os elementos classificados ${\displaystyle d_{i}}$: se ${\displaystyle d_{1}\geq d_{2}\geq \cdots \geq d_{n-1}}$ (isso pode ser alcançado por permutação simétrica de linhas e colunas sem perda de generalidade), e se os ${\displaystyle \lambda _{i}}$s são classificados de acordo, então ${\displaystyle \lambda _{1}\geq d_{1}\geq \lambda _{2}\geq d_{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}\geq d_{n-1}\geq \lambda _{n}}$.
• Se ${\displaystyle d_{i}=d_{j}}$, para algum ${\displaystyle i\neq j}$, a desigualdade acima implica que ${\displaystyle d_{i}}$ é um valor próprio de ${\displaystyle A}$. O tamanho do problema pode ser reduzido pela aniquilação de ${\displaystyle \zeta _{j}}$ com uma rotação de Givens no plano-${\displaystyle (i,j)}$ e procedendo como acima.

Matrizes pontas de flecha simétricas surgem em descrições de transições sem radiação em moléculas isoladas e osciladores vibracionalmente acoplados a um líquido de Fermi.^[4]

Uma matriz ponta de flecha simétrica é irredutível se ${\displaystyle \zeta _{i}\neq 0}$ para todo ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle d_{i}\neq d_{j}}$ para todo ${\displaystyle i\neq j}$. Os valores próprios de uma matriz ponta de flecha real simétrica irredutível são os zeros da equação secular

${\displaystyle f(\lambda )=\alpha -\lambda -\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\zeta _{i}^{2}}{d_{i}-\lambda }}\equiv \alpha -\lambda -z^{T}(D-\lambda I)^{-1}z=0}$

que pode ser, por exemplo, calculado pelo método da bisseção. Os autovetores correspondentes são iguais a

${\displaystyle v_{i}={\frac {x_{i}}{\|x_{i}\|_{2}}},\quad x_{i}={\begin{bmatrix}\left(D-\lambda _{i}I\right)^{-1}z\\-1\end{bmatrix}},\quad i=1,\ldots ,n.}$

A aplicação direta da fórmula acima pode produzir autovetores que não são numericamente suficientemente ortogonais.^[1] O algoritmo progressivo estável que calcula cada autovalor e cada componente do autovetor correspondente com precisão quase total está descrito.^[2] A versão Julia do software está disponível.^[5]

Seja ${\displaystyle A}$ uma matriz irredutível ponta de flecha simétrica real. E se ${\displaystyle d_{i}=0}$ para algum ${\displaystyle i}$, a inversa é uma matriz ponta de seta simétrica real irredutível permutada:

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}D_{1}^{-1}&w_{1}&0&0\\w_{1}^{T}&b&w_{2}^{T}&1/\zeta _{i}\\0&w_{2}&D_{2}^{-1}&0\\0&1/\zeta _{i}&0&0\end{bmatrix}}}$

onde

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}D_{1}&=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{i-1}),\\D_{2}&=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{i+1},d_{i+2},\ldots ,d_{n-1}),\\z_{1}&={\begin{bmatrix}\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{i-1}\end{bmatrix}}^{T},\\z_{2}&={\begin{bmatrix}\zeta _{i+1}&\zeta _{i+2}&\cdots &\zeta _{n-1}\end{bmatrix}}^{T},\\w_{1}&=-D_{1}^{-1}z_{1}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\w_{2}&=-D_{2}^{-1}z_{2}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\b&={\frac {1}{\zeta _{i}^{2}}}\left(-a+z_{1}^{T}D_{1}^{-1}z_{1}+z_{2}^{T}D_{2}^{-1}z_{2}\right).\end{alignedat}}}$

Se ${\displaystyle d_{i}\neq 0}$ para todo ${\displaystyle i}$, a inversa é uma modificação de posto-um de uma matriz diagonal (diagonal-mais-posto-um ou DMP1):

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}D^{-1}&\\&0\end{bmatrix}}+\rho uu^{T},}$

onde

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}D^{-1}z\\-1\end{bmatrix}},\quad \rho ={\frac {1}{\alpha -z^{T}D^{-1}z}}.}$

Referências

• Portal da matemática