Polinômio de Euler
Polinômio de Euler é um polinômio assim nomeado por ter sido descoberto pelo matemático suíço Leonhard Euler. Sua característica marcante é a riqueza de propriedades aritméticas. A mais conhecida é a de ser um polinômio que quando seus valores são tabelados geram uma longa sequência de números primos.
Expresso como uma função em n, f(n), no domínio dos números inteiros toma a notação
Há ainda mais um polinômio relacionado, que difere do primeiro por um sinal:
Os valores são quase os mesmos, exceto que para 0 e 1 o valor não se repete e que a primalidade só vai até 39, pois ao valor 40 é atribuído o quadrado de 41.
Tabela de valores
Segue a tabela de valores para este f(n) entre 0 e 41 (sequência A005846 na OEIS):
n | f(n) | é primo |
---|---|---|
0 | 41 | sim |
1 | 41 | sim |
2 | 43 | sim |
3 | 47 | sim |
4 | 53 | sim |
5 | 61 | sim |
6 | 71 | sim |
7 | 83 | sim |
8 | 97 | sim |
9 | 113 | sim |
10 | 131 | sim |
11 | 151 | sim |
12 | 173 | sim |
13 | 197 | sim |
14 | 223 | sim |
15 | 251 | sim |
16 | 281 | sim |
17 | 313 | sim |
18 | 347 | sim |
19 | 383 | sim |
20 | 421 | sim |
21 | 461 | sim |
22 | 503 | sim |
23 | 547 | sim |
24 | 593 | sim |
25 | 641 | sim |
26 | 691 | sim |
27 | 743 | sim |
28 | 797 | sim |
29 | 853 | sim |
30 | 911 | sim |
31 | 971 | sim |
32 | 1033 | sim |
33 | 1097 | sim |
34 | 1163 | sim |
35 | 1231 | sim |
36 | 1301 | sim |
37 | 1373 | sim |
38 | 1447 | sim |
39 | 1523 | sim |
40 | 1601 | sim |
41 | 1681 | não |
Percebe-se que para 41 a expressão numérica torna-se um quadrado perfeito:
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