Regra de Sarrus

Regra de Sarrus: O determinante da matriz formada pelas três colunas da esquerda é a soma dos produtos ao longo das diagonais indicadas por linhas cheias menos a soma dos produtos ao longo das diagonais tracejadas

A Regra de Sarrus ou esquema de Sarrus é um método ou esquema de memorização para calcular o determinante de uma matriz 3×3. O nome refere-se ao matemático francês Pierre Frederic Sarrus.[1]

Considerando uma matriz 3x3 M = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}}

o seu determinante pode ser calculado pelo seguinte esquema: Inicialmente, copie as duas primeiras colunas da matriz à direita da 3ª coluna, de modo que seja obtida uma sequência de 5 colunas. Em seguida, some os produtos das três diagonais que partem de cima para baixo (linhas contínuas) e subtraia os produtos das três diagonais que vão de baixo para cima (linhas tracejada). Isso produz[1][2][3]

Organização alternativa na vertical

det ( M ) = | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 31 a 22 a 13 − a 32 a 23 a 11 − a 33 a 21 a 12 . {\displaystyle \det(M)={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}.}

Alternativamente, o esquema pode ser realizado copiando-se as duas primeiras linhas da matriz abaixo da 3ª linha, ao invés das duas primeiras colunas à direita da 3ª coluna. Um esquema semelhante, baseado em diagonais, mas sem repetição de linhas ou colunas, funciona para matrizes 2x2[1]: det ( M ) = | a 11 a 12 a 21 a 22 | = a 11 a 22 − a 21 a 12 . {\displaystyle \det(M)={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}.} Ambos são casos especiais da fórmula de Leibniz para determinantes que, no entanto, não produz esquemas de memorização semelhantes para matrizes maiores. A regra de Sarrus também pode ser derivada a partir da expansão de Laplace de uma matriz 3x3.[1]

Exemplo

Dada a matriz M = ( 1 − 2 3 − 4 5 − 6 7 − 8 9 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&-2&3\\-4&5&-6\\7&-8&9\end{pmatrix}}} o determinante é:

det M = [ ( 1 ) ( 5 ) ( 9 ) + ( − 2 ) ( − 6 ) ( 7 ) + ( 3 ) ( − 4 ) ( − 8 ) ] − [ ( 7 ) ( 5 ) ( 3 ) + ( − 8 ) ( − 6 ) ( 1 ) + ( 9 ) ( − 4 ) ( − 2 ) ] = [ 45 + 84 + 96 ] − [ 105 + 48 + 72 ] = 0. {\displaystyle \det M=\left[(1)(5)(9)+(-2)(-6)(7)+(3)(-4)(-8)\right]-\left[(7)(5)(3)+(-8)(-6)(1)+(9)(-4)(-2)\right]=[45+84+96]-[105+48+72]=0.}

Referências

  1. ↑ a b c d Khattar, Dinesh (2010). The Pearson Guide to Complete Mathematics for AIEEE 3rd ed. [S.l.]: Pearson Education India. p. 6-2. ISBN 978-81-317-2126-1 
  2. ↑ Fischer, Gerd (1985). Analytische Geometrie (em German) 4th ed. Wiesbaden: Vieweg. p. 145. ISBN 3-528-37235-4  !CS1 manut: Língua não reconhecida (link)
  3. ↑ Ribeiro, Jackson (2010). Matemática: ciência, linguagem e tecnologia 1 ed. São Paulo: [s.n.] ISBN 9788526277328 

Ligações externas

  • rule of Sarrus no PlanetMath
  • Rule of Sarrus of determinants no Khan Academy (em inglês)
  • Regra de Sarrus[ligação inativa], em Mundo Educação
  • Regra de Sarrus