Resultante

Em matemática, a resultante de dois polinômios mônicos ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ sobre um corpo ${\displaystyle k}$ define-se como o produto:

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}\prod _{Q(y)=0}(y-x),\,}$

Das diferenças de suas raízes, de onde ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ tomam valores no fecho algébrico de ${\displaystyle k}$. Para polinômios não-mônicos com coeficientes dominantes ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$, respectivamente, o produto acima é multiplicado por:

${\displaystyle p^{\deg Q}q^{\deg P}.\,}$

• A resultante é o determinante da matriz de Sylvester.

• O produtório anterior pode ser reescrito como

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{Q(y)=0}P(y)\,}$

E esta expressão permanece invariante sem ${\displaystyle P}$ reduz-se o módulo ${\displaystyle Q}$.

• ${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)}$
• ${\displaystyle \mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)}$
• Se ${\displaystyle P'=P+R*Q}$ e ${\displaystyle \deg P'=\deg P}$, entãon ${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P',Q)}$
• Se ${\displaystyle X,Y,P,Q}$ possui o mesmo grau e ${\displaystyle X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q}$,

então ${\displaystyle \mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)}$

• ${\displaystyle \mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)}$ onde ${\displaystyle P_{-}(z)=P(-z)}$

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