Reta de Sorgenfrey

Reta de Sorgenfrey, em topologia, é um espaço topológico que tem as propriedades de ser separável, primeiro-contável⁣, mas não é segundo-contável.[1]

O espaço é definido na reta real, definindo como base os conjuntos fechados à esquerda e abertos à direita, ou seja, os conjuntos da forma [ a , b ) {\displaystyle [a,b)} .[1][2]

É fácil verificar que os conjuntos ( − ∞ , x ) {\displaystyle (-\infty ,x)} e [ b , ∞ ) {\displaystyle [b,\infty )} são abertos, portanto, o complemento de sua união, [ b , x ) {\displaystyle [b,x)} , é fechado. Além disso, como qualquer conjunto da forma ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} pode ser escrito como uma união (infinita) de conjuntos da forma [ a − 1 n , b ) {\displaystyle {\biggr [}a-{\frac {1}{n}},b{\biggr )}} , temos que ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} é um aberto nesta topologia, ou seja, esta topologia é mais fina que a topologia usual em R {\displaystyle \mathbb {R} \,} .[1]

O plano de Sorgenfrey [carece de fontes?] é o produto cartesiano de duas retas de Sorgenfrey.[3]

Referências

  1. ↑ a b c Ron Freiwald, Chapter 3, Topological Spaces, 5. Describing Topologies, A. Basic Neighbourhoods, Example 5.3, p.114s [pdf]
  2. ↑ Teck-Cheong Lim, Sorgenfrey line [pdf]
  3. ↑ Lynn Arthur Steen e J. Arthur Seebach, Counterexamples in Topology, 84. Sorgenfrey's Half-Open Square Topology, p.103 [em linha]
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