Soma de Borel

Em matemática, uma soma de Borel é uma generalização da noção comum de soma de uma série. Em particular, provê uma definição de uma quantidade que em numerosos aspectos comporta-se formalmente como uma soma, ainda no caso de que a série seja divergente.

Seja

${\displaystyle y=\sum _{k=0}^{\infty }y_{k}z^{-k}}$

uma série de potência formal em ${\displaystyle z}$.

Define-se a transformada de Borel ${\displaystyle {\mathcal {B}}y}$ de ${\displaystyle y}$ mediante

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y_{k}}{(k-1)!}}t^{k-1}.}$

Supondo que

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}y}$ tem um radio de convergência não nulo como função de ${\displaystyle t}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}y}$ pode ser continuada em forma analítica a uma função ${\displaystyle {\hat {y}}(t)}$ sobre toda a reta real positiva
3. ${\displaystyle {\hat {y}}(t)}$ como cresce muito em forma exponencial ao longo da reta real

Então, a soma de Borel de ${\displaystyle y}$ está dada pela transformada de Laplace de ${\displaystyle {\hat {y}}(t)}$. A existência desta função está garantida pela condição (3) indicada anteriormente.

A soma de Borel de uma série é a transformada de Laplace da soma das anti-transformadas de Laplace termo a termo da série original. Se a transformada de Laplace de uma série infinita for igual à soma da transformada de Laplace termo a termo então, a soma de Borel seria igual à soma comum. A soma de Borel é definida em muitas situações nas que a soma não está definida. Expressando-o em termos planos, permite dar-lhe um significado à 'soma' de certo tipo de séries divergentes. A suma de Borel é um exemplo de um método de momento constante para somar séries.

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