Superfície paramétrica
Uma superfície paramétrica é uma superfície no espaço euclidiano que é definida por uma equação paramétrica com dois parâmetros A representação paramétrica é uma maneira muito geral de especificar uma superfície, assim como a representação implícita. Superfícies que ocorrem em dois dos teoremas principais do cálculo vetorial, teorema de Stokes e o teorema da divergência, são frequentemente fornecidas de forma paramétrica. A curvatura e o comprimento do arco de curvas na superfície, área de superfície, invariantes geométricas diferenciais, como a primeira e segunda formas fundamentais, curvaturas gaussianas, médias e principais podem ser calculadas a partir de uma determinada parametrização.
Exemplos
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8b/Parametric_surface_illustration_%28torus%29.png/220px-Parametric_surface_illustration_%28torus%29.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/Parametric_surface_illustration_%28trefoil_knot%29.png/220px-Parametric_surface_illustration_%28trefoil_knot%29.png)
- O tipo mais simples de superfícies paramétricas é dado pelos gráficos de funções de duas variáveis:
- Uma superfície racional é uma superfície que admite parametrizações por uma função racional. Uma superfície racional é uma superfície algébrica. Dada uma superfície algébrica, geralmente é mais fácil decidir se é racional do que calcular sua parametrização racional, se existir.
- Superfícies de revolução fornecem outra classe importante de superfícies que podem ser facilmente parametrizadas. Se o gráfico z = f(x), a ≤ x ≤ b for girado em torno do eixo z-a superfície resultante terá uma parametrização.
- Também pode ser parametrizado
- mostrando que, se a função f é racional, a superfície é racional.
- O cilindro circular reto de raio R em torno do eixo x tem a seguinte representação paramétrica:
- Usando as coordenadas esféricas, a esfera unitária pode ser parametrizada por
- Essa parametrização quebra nos pólos norte e sul, onde o ângulo de azimute θ não é determinado exclusivamente. A esfera é uma superfície racional.
A mesma superfície admite muitas parametrizações diferentes. Por exemplo, o plano z da coordenada pode ser parametrizado como
para quaisquer constantes a, b, c, d tais que ad − bc ≠ 0, ou seja, a matriz é invertível.
Geometria diferencial local
A forma local de uma superfície paramétrica pode ser analisada considerando a expansão de Taylor da função que a determina. O comprimento do arco de uma curva na superfície e na área da superfície pode ser encontrado usando a integração.
Notação
Seja a superfície paramétrica dada pela equação
onde é uma função com valor vetorial dos parâmetros (u, v) e os parâmetros variam dentro de um determinado domínio D no plano uv paramétrico. As primeiras derivadas parciais com relação aos parâmetros são geralmente indicadas e e da mesma forma para os derivativos mais altos,
No cálculo vetorial, os parâmetros são frequentemente indicados (s,t) e as derivadas parciais são gravadas usando a notação ∂:
Plano tangente e vetor normal
A parametrização é regular para os valores fornecidos dos parâmetros se os vetores
são linearmente independentes. O plano tangente num ponto regular é o plano afim em R3 gerado por estes vectores e que passa através do ponto r(u, v) na superfície determinada pelos parâmetros. Qualquer vetor tangente pode ser decomposto exclusivamente em uma combinação linear de e . O produto vetorial desses vetores é um vetor normal para o plano tangente. Dividir esse vetor por seu comprimento gera um vetor normal unitário para a superfície parametrizada em um ponto regular:
Em geral, existem duas opções do vetor normal unitário para uma superfície em um determinado ponto, mas para uma superfície parametrizada regular, a fórmula anterior escolhe consistentemente uma delas e, portanto, determina uma orientação da superfície. Algumas das diferenciais geométricas invariantes de uma superfície em R3 são definidas pela própria superfície e são independentes da orientação, enquanto outros mudam o sinal se a orientação é invertida.
Área de superfície
A área superficial pode ser calculada integrando o comprimento do vetor normal à superfície sobre a região apropriada D no plano paramétrico uv:
Embora essa fórmula forneça uma expressão fechada para a área superficial, para todas as superfícies, exceto as muito especiais, isso resulta em uma integral dupla complicada, que normalmente é avaliada usando um sistema de álgebra computacional ou aproximada numericamente. Felizmente, muitas superfícies comuns formam exceções e suas áreas são explicitamente conhecidas. Isso é verdade para um cilindro circular, esfera, cone, toro, e algumas outras superfícies de revolução.
Isso também pode ser expresso como uma integral de superfície sobre o campo escalar 1:
Primeira forma fundamental
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
A primeira forma fundamental é uma forma quadrática
no plano tangente à superfície que é usada para calcular distâncias e ângulos. Para uma superfície parametrizada seus coeficientes podem ser calculados da seguinte forma:
O comprimento do arco das curvas parametrizadas na superfície S, o ângulo entre as curvas em S, e a área da superfície admitem expressões em termos da primeira forma fundamental.
Se (u(t), v(t)), a ≤ t ≤ b representa uma curva parametrizada nesta superfície, então seu comprimento de arco pode ser calculado como a integral:
A primeira forma fundamental pode ser vista como uma família de formas bilineares simétricas definidas positivas no plano tangente em cada ponto da superfície, dependendo suavemente do ponto. Essa perspectiva ajuda a calcular o ângulo entre duas curvas em S que se cruzam em um determinado ponto. Esse ângulo é igual ao ângulo entre os vetores tangentes às curvas. A primeira forma fundamental avaliada nesse par de vetores é o seu produto escalar, e o ângulo pode ser encontrado na fórmula padrão
expressando o cosseno do ângulo através do produto escalar.
A área de superfície pode ser expressa em termos da primeira forma fundamental da seguinte forma:
Pela identidade de Lagrange, a expressão sob a raiz quadrada é precisamente , e, portanto, é estritamente positivo nos pontos regulares.
Segunda forma fundamental
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
A segunda forma fundamental
é uma forma quadrática no plano tangente à superfície que, juntamente com a primeira forma fundamental, determina as curvaturas das curvas na superfície. No caso especial quando (u, v) = (x, y) e o plano tangente à superfície no ponto dado é horizontal, a segunda forma fundamental é essencialmente a parte quadrática da expansão de Taylor de z em função de x e y.
Para uma superfície paramétrica geral, a definição é mais complicada, mas a segunda forma fundamental depende apenas das derivadas parciais de ordem um e dois. Seus coeficientes são definidos como projeções das segundas derivadas parciais de no vetor normal da unidade definido pela parametrização:
Como a primeira forma fundamental, a segunda forma fundamental pode ser vista como uma família de formas bilineares simétricas no plano tangente em cada ponto da superfície, dependendo suavemente do ponto.
Curvatura
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
A primeira e a segunda formas fundamentais de uma superfície determinam seus importantes invariantes diferencial-geométricos: a curvatura gaussiana, a curvatura média, e as curvaturas principais.
As principais curvaturas são os invariantes do par, consistindo na segunda e na primeira formas fundamentais. São as raízes κ1, κ2 da equação quadrática
A curvatura gaussiana K = κ1κ2 e a curvatura média H = (κ1 + κ2)/2 podem ser calculadas da seguinte forma:
Até um sinal, essas quantidades são independentes da parametrização usada e, portanto, formam ferramentas importantes para analisar a geometria da superfície. Mais precisamente, as curvaturas principais e a curvatura média alteram o sinal se a orientação da superfície for invertida, e a curvatura gaussiana é totalmente independente da parametrização.
O sinal da curvatura gaussiana em um ponto determina a forma da superfície próxima a esse ponto: para K > 0 a superfície é localmente convexa e o ponto é chamado elíptico, enquanto que para K < 0 a superfície é em forma de sela e o ponto é chamado hiperbólico. Os pontos em que a curvatura gaussiana é zero são chamados parabólicos. Em geral, os pontos parabólicos formam uma curva na superfície chamada linha parabólica. A primeira forma fundamental é definida positivamente, portanto seu determinante EG − F2 é positivo em todos os lugares. Portanto, o sinal de K coincide com o sinal de LN − M2, o determinante do segundo fundamental.
Os coeficientes da primeira forma fundamental apresentada acima podem ser organizados em uma matriz simétrica:
E o mesmo para os coeficientes da segunda forma fundamental, também apresentados acima:
Definindo agora matriz , as curvaturas principais κ1 e κ2 são os autovalores de A.[1]
Agora, se v1=(v11,v12) é o autovetor de A correspondente à curvatura principal κ1, o vetor unitário na direção de é chamado o vetor principal correspondente à curvatura principal κ1.
Portanto, se v2=(v21,v22) é o autovetor de A correspondente à curvatura principal κ2, o vetor unitário na direção de é chamado o vetor principal correspondente à curvatura principal κ2.
Ver também
- Spline (matematica)
- Superfície normal
Referências
- ↑ Surface curvatures Handouts, Principal Curvatures
Ligações externas
- Java applets demonstrate the parametrization of a helix surface
- m-ART(3d) - iPad/iPhone application to generate and visualize parametric surfaces.