Em matemática, existem diversos teoremas que recebem o nome de teorema da representação de Riesz.
O mais conhecido destes teoremas é o Teorema de Riesz–Fréchet que se refere à representação de funcionais lineares contínuos em espaços de Hilbert.
Teorema da representação de Riesz–Fréchet
Seja
um espaço de Hilbert, munido de produto interno, e
um funcional linear contínuo. Então existe um único
tal que:
![{\displaystyle \phi (x)=\langle x,y_{0}\rangle ,\ \forall x\in H\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d78900e30fae91c225f8386813c801cccc2d9c)
E além disso:
Portanto o teorema estabelece uma identificação entre um espaço de Hilbert e seu espaço dual.
Motivação
Se
é um espaço de Hilbert munido de produto interno e
então existe o funcional:
Note que:
- Esse funcional é linear pois o produto interno mantêm linearidade.
- Contínuo pois: fixando
se
então:
.
pois
.
Ou seja,
e
.
Seria interessante que todos os funcionais lineares contínuos fossem da forma descrita acima para algum
.
Demonstração
Se
é um funcional tal que
sempre, então basta tomar
que então
.
Se
não é identicamente nulo, então o núcleo de
que é o conjunto
é um subespaço próprio e fechado de
.
Portanto
. Seja
tal que
.
Vamos provar que
satisfaz a condição do teorema.
Dado
note que como podemos decompor
como soma direta de
com
então
onde:
e
.
Logo :
Como
e
então:
Como
então temos que:
Consequências
- Todo espaço de Hilbert é isomorfo ao seu dual.
- O dual de um espaço de Hilbert também é de Hilbert
Bibliografia
- Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino e Eduardo Teixeira (2011), Fundamentos de Análise Funcional
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