Torsão de uma curva

A torção(τ) é uma propriedade de curvas no espaço tridimensional (r). Essa propriedade mede o quanto uma curva se projeta para fora do plano de curvatura por meio de um movimento "torsional" que pode ser no sentido de aproximar-se ou afastar-se do vetor normal.

O módulo da torção é dado por ${\displaystyle \tau ={\frac {||{\textbf {B}}'||}{||{\textbf {r}}'||}}}$ onde ${\displaystyle {\textbf {B}}}$ é o vetor binormal e ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ é o vetor que descreve uma curva parametricamente.[nota 1]

Calcular a torção por esse método é extremamente trabalhoso porque envolve achar o vetor binormal ${\displaystyle {\textbf {B}}}$ dado pelo produto vetorial ${\displaystyle {\textbf {T}}\times {\textbf {N}}}$ o que por sua vez envolve achar os vetores normal ${\displaystyle {\textbf {N}}}$ e tangente ${\displaystyle {\textbf {T}}}$ incluindo normalizações e algumas derivações.

Fórmulas mais simples podem ser deduzidas para a torção e para a curvatura que envolvem apenas o vetor ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ e suas derivadas, tornando o cálculo destas uma tarefa consideravelmente mais simples. Elas são dadas por:

${\displaystyle \tau ={\frac {{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''.{\textbf {r}}'''}{||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||^{2}}}}$ (torção) e ${\displaystyle \kappa ={\frac {||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||}{||{\textbf {r}}'||^{3}}}}$ (curvatura)

Seja ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ a parametrização de uma curva e ${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\|r'(t)\|dt}$. Então vale:

1. ${\displaystyle {\textbf {s}}'=||{\textbf {r}}'||}$

2. ${\displaystyle {\textbf {T}}'=s'\kappa {\textbf {N}}}$

3. ${\displaystyle {\textbf {N}}'=s'\tau {\textbf {B}}-s'\kappa {\textbf {T}}}$,^{[nota 2]}

onde ${\displaystyle \mathbf {T} }$, ${\displaystyle \mathbf {N} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ são os vetores unitários tangente, normal e binormal, respectivamente.

A ideia é calcular as três primeiras derivadas de ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ e relacioná-las à torção e curvatura. Dessa forma:

${\displaystyle {\textbf {r}}'=||{\textbf {r}}'||{\textbf {T}}}$ onde fizemos a decomposição do vetor ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ em módulo ${\displaystyle ||{\textbf {r}}'||}$ e direção ${\displaystyle {\textbf {T}}}$

${\displaystyle {\textbf {r}}'=s'{\textbf {T}}}$ onde utilizamos a igualdade 1.

A derivada segunda de ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ é dada pela derivação da expressão acima de ${\displaystyle {\textbf {r}}'}$ utilizando a regra do produto:

${\displaystyle {\textbf {r}}''=s''{\textbf {T}}+s'{\textbf {T}}'}$

Utilizando a igualdade 2. temos:

${\displaystyle {\textbf {r}}''=s''{\textbf {T}}+s'^{2}\kappa {\textbf {N}}}$

Calculemos a derivada de terceira ordem de ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ derivando a expressão anterior para ${\displaystyle {\textbf {r}}''}$ :

${\displaystyle {\textbf {r}}'''=s'''{\textbf {T}}+s''{\textbf {T}}'+2s's''\kappa {\textbf {N}}+s'^{2}(\kappa '{\textbf {N}}+\kappa {\textbf {N}}')}$ onde utilizamos apenas a regra do produto.

Lançando mão das igualdades 2. e 3. (evidenciadas entre colchetes)

${\displaystyle {\textbf {r}}'''=s'''{\textbf {T}}+s''[s'\kappa {\textbf {N}}]+2s's''\kappa {\textbf {N}}+s'^{2}(\kappa '{\textbf {N}}+\kappa [s'\tau {\textbf {B}}-s'\kappa {\textbf {T}}])}$

Simplificando e colocando ${\displaystyle {\textbf {T}}}$, ${\displaystyle {\textbf {N}}}$ e ${\displaystyle {\textbf {B}}}$ em evidência:

${\displaystyle {\textbf {r}}'''=(s'''-s'^{3}\kappa ^{2}){\textbf {T}}+(3s''s'\kappa +s'^{2}\kappa '){\textbf {N}}+(s'^{3}\kappa \tau ){\textbf {B}}}$

Nossas três derivações ficaram assim:

${\displaystyle {\textbf {r}}'=s'{\textbf {T}}}$

${\displaystyle {\textbf {r}}''=s''{\textbf {T}}+s'\kappa {\textbf {N}}}$

${\displaystyle {\textbf {r}}'''=(s'''-s'^{3}\kappa ^{2}){\textbf {T}}+(3s''s'\kappa +s'^{2}\kappa '){\textbf {N}}+(s'^{3}\kappa \tau ){\textbf {B}}}$

Observemos que

${\displaystyle {\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''=(s'{\textbf {T}})\times (s''{\textbf {T}}+s'^{2}\kappa {\textbf {N}})}$

${\displaystyle {\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''=s'^{3}\kappa {\textbf {B}}}$

Tomando o módulo temos:

${\displaystyle ||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||=||s'^{3}\kappa {\textbf {B}}||}$

${\displaystyle ||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||=\kappa ||s'^{3}||}$ lembrando que o vetor binormal ${\displaystyle {\textbf {B}}}$ é unitário

Isolando ${\displaystyle \kappa }$ obtemos nosso primeiro resultado:

${\displaystyle \kappa ={\frac {||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||}{||s'^{3}||}}}$ (curvatura)

Agora tomemos o produto escalar de ${\displaystyle {\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''}$ com ${\displaystyle {\textbf {r}}'''}$

${\displaystyle {\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''=s'^{3}\kappa {\textbf {B}}\cdot [(s'''-s'^{3}\kappa ^{2}){\textbf {T}}+(3s''s'\kappa +s'^{2}\kappa '){\textbf {N}}+(s'^{3}\kappa \tau ){\textbf {B}}]}$

O que se reduz a:

${\displaystyle {\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''=s'^{3}\kappa {\textbf {B}}\cdot (s'^{3}\kappa \tau ){\textbf {B}}}$

${\displaystyle {\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''=s'^{6}\kappa ^{2}\tau }$

Sendo ${\displaystyle ||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||=s'^{3}\kappa }$, temos:

${\displaystyle {\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''=(s'^{3}\kappa )^{2}\tau =||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||^{2}\tau }$

Isolando ${\displaystyle \tau }$:

${\displaystyle \tau ={\frac {{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''\cdot {\textbf {r}}'''}{||{\textbf {r}}'\times {\textbf {r}}''||^{2}}}}$ (torção)

que é o nosso segundo e principal resultado.

A torção mede a variação do vetor binormal em relação ao comprimento da curva(s).

Além de usar a curva r para calcular a torção, pode-se usar o vetor binormal.

${\displaystyle {dB \over ds}={d(T\times N) \over ds}={dT \over ds}\times N+T\times {dN \over ds}}$

Como ${\displaystyle {dT \over ds}=\kappa N}$, ${\displaystyle {dB \over ds}=T\times {dN \over ds}}$.

Isso implica que ${\displaystyle {dB \over ds}}$ é ortogonal a T e ${\displaystyle {dB \over ds}}$ é ortogonal a B.

Logo, ${\displaystyle {dB \over ds}}$é paralelo a N, ou seja, ${\displaystyle {dB \over ds}=-\tau N}$.

O sinal negativo indica que quando ${\displaystyle \tau >0,{dB \over ds}}$ está no sentido -${\displaystyle {\textbf {N}}}$. Então, se P é um ponto sobre a curva movendo-se no sentido positivo, ${\displaystyle {\textbf {B}}}$ gira em torno de ${\displaystyle {\textbf {T}}}$ como um parafuso de rosca direita sendo apertado, caso seja negativa, seria como um parafuso de rosca esquerda.

Quanto maior o valor da torção, mais esticada são as curvas. No entanto, se esticada até o infinito, a curva passa a ser uma reta.

Notas

Referências