Transformação de cisalhamento

Em geometria plana, uma transformação de cisalhamento é uma transformação linear, que desloca cada ponto em uma direção fixada, por um montante proporcional à sua distância com sinal de uma reta que é paralela à direção.^[1]

Um exemplo é a transformação que leva qualquer ponto com coordenadas ${\displaystyle (x,y)}$ para o ponto ${\displaystyle (x+2y,y)}$. Neste caso, o deslocamento é horizontal, a reta fixada é o eixo ${\displaystyle x}$, e a distância com sinal é a coordenada ${\displaystyle y}$. Note que pontos de lados opostos da reta de referência são deslocados em sentidos opostos.

Transformações de cisalhamento não devem ser confundidas com rotações. A aplicação de um cisalhamento a um conjunto de pontos do plano irá alterar todos os ângulos entre eles (exceto ângulos retos), e o comprimento de qualquer segmento de reta que não é paralelo à direção de deslocamento. Portanto, elas normalmente distorcerão a forma de uma figura geométrica, por exemplo, transformando quadrados em paralelogramos não-quadrados, e círculos em elipses. No entanto, um cisalhamento preserva a área de figuras geométricas e o alinhamento e distâncias relativas de pontos colineares. Uma transformação de cisalhamento é a principal diferença entre os estilos de letras vertical e inclinada (ou itálico).

A mesma definição é utilizada na geometria tridimensional, exceto que a distância é medida a partir de um plano fixo. Uma transformação de cisalhamento no espaço tridimensional preserva o volume de figuras sólidas, mas altera as áreas de figuras planas (exceto aquelas que são paralelas ao deslocamento). Esta transformação é usada para descrever o fluxo laminar de um fluido entre placas, uma se movendo em um plano  paralelo e acima da primeira.

No espaço Cartesiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ geral ${\displaystyle n}$-dimensional a distância é medida a partir de um hiperplano fixo paralelo à direção de deslocamento. Esta transformação geométrica é uma transformação linear de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ que preserva a medida ${\displaystyle n}$-dimensional (hipervolume) de qualquer conjunto.

No plano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$, um cisalhamento horizontal (ou cisalhamento paralelo ao eixo x) é uma função que leva um ponto genérico de coordenadas ${\displaystyle (x,y)}$ para o ponto ${\displaystyle (x+my,y)}$; em que ${\displaystyle m}$ é um parâmetro fixo, chamado fator de cisalhamento.

O efeito desta transformação é o deslocamento de cada ponto horizontalmente por uma quantidade proporcionalmente à sua coordenada ${\displaystyle y}$. Qualquer ponto acima do eixo ${\displaystyle x}$ é deslocado para a direita (aumentando ${\displaystyle x}$) se ${\displaystyle m>0}$, e para a esquerda se ${\displaystyle m<0}$ Os pontos abaixo do eixo ${\displaystyle x}$ se movimentam no sentido oposto, enquanto que os pontos sobre o eixo permanecem fixos.

As retas paralelas ao eixo ${\displaystyle x}$ permanecem onde estão, enquanto todas as outras retas são giradas, através de vários ângulos, sobre o ponto em que elas cruzam o eixo ${\displaystyle x}$. As retas verticais, em particular, tornam-se retas oblíquas com inclinação ${\displaystyle 1/m}$. Portanto, o fator de cisalhamento ${\displaystyle m}$ é a cotangente do ângulo ${\displaystyle \varphi }$ segundo o qual as retas verticais são inclinadas, o chamado ângulo de inclinação.

Se as coordenadas de um ponto forem escritas como um vetor coluna (uma matriz 2×1), a transformação de cisalhamento pode ser escrita como uma multiplicação por uma matriz 2×2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Um cisalhamento vertical (ou cisalhamento paralelo ao eixo ${\displaystyle y}$) de retas é semelhante, exceto pelo fato de que os papéis de ${\displaystyle x}$ e de ${\displaystyle y}$ são trocados. Isto corresponde a multiplicar o vetor de coordenadas pela transposta da matriz:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

O cisalhamento vertical desloca pontos à direita do eixo ${\displaystyle y}$ para cima ou para baixo, dependendo do sinal de ${\displaystyle m}$. Ele deixa as linhas verticais invariantes, mas inclina todas as outras retas no ponto em que elas encontram o eixo ${\displaystyle y}$. Linhas horizontais, em particular, são inclinadas pelo ângulo de inclinação ${\displaystyle \varphi }$ para se tornar retas com inclinação ${\displaystyle m}$.

Para um espaço vetorial V e um subespaço W, um cisalhamento que fixa W translada todos os vetores paralelamente a W.

Mais precisamente, se V é a soma direta de W e W', e os vetores de V são escritos como

v = w + w'

respectivamente, um típico cisalhamento que fixa W é L onde

L(v) = (w + Mw') + w '

em que M é uma transformação linear de W' em W. Portanto, em termos de matriz em blocos L pode ser representada como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&M\\0&I\end{pmatrix}}}$

As seguintes aplicações das transformações de cisalhamento foram observadas por William Kingdon Clifford:

Uma sucessão de cisalhamentos nos permite reduzir qualquer figura delimitada por linhas retas a um triângulo de mesma área.

... podemos cisalhar qualquer triângulo transformando-o em um triângulo retângulo, e isto não alterará a sua área. Assim, a área de qualquer triângulo é metade da área do retângulo com a mesma base e a altura igual à perpendicular a base do ângulo oposto.^[2]

A preservação da área por cisalhamentos é uma propriedade que pode ser usada para obter resultados envolvendo áreas. Por exemplo, o teorema de Pitágoras foi ilustrado com transformações de cisalhamento.^[3]

Um algoritmo devido a Alan W. Paeth utiliza uma sequência de três transformações de cisalhamento (horizontal, vertical e novamente horizontal) para girar uma imagem digital por um ângulo arbitrário. O algoritmo é muito simples de implementar, e muito eficiente, uma vez que cada etapa processa apenas uma coluna ou uma linha de pixels de cada vez.^[4]

O texto em itálico pode ser pensado como o resultado de aplicar um cisalhamento ao texto normal.

• Matriz de cisalhamento