Transformada binomial

Em matemática, no campo da combinatória, a transformada binomial é uma seqüência de transformações, ou seja, uma transformação de uma seqüência, que obtém-se calculando suas diferenças anteriores. Está relacionada com a transformada de Euler, que é o resultado de aplicar a transformada binomial à seqüência associada com a função geratriz ordinária. Às vezes, um caso especial de transformada de Euler é utilizado para acelerar a soma de séries alternadas. Outro caso especial aplica-se à série hipergeométrica.

A transformada binomial, T, de uma seqüência, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$, é a seqüência ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ definida como

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}}$

Formalmente, a transformação escreve-se como ${\displaystyle (Ta)_{n}=s_{n}}$ , onde T é um operador de dimensão infinita com uma matriz de elementos ${\displaystyle T_{nk}}$:

${\displaystyle s_{n}=(Ta)_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}a_{k}}$

A transformada é uma involução, ou seja,

${\displaystyle TT=1\,}$

ou, em notação indexada,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}}$

sendo δ a função delta de Kronecker. Pode-se recuperar a série original com

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}}$

A transformada binomial de uma seqüência é a n-ésima diferença anterior da seqüência, igual a

${\displaystyle s_{0}=a_{0}}$

${\displaystyle s_{1}=-(\triangle a)_{0}=-a_{1}+a_{0}}$

${\displaystyle s_{2}=(\triangle ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}}$

. . .

${\displaystyle s_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)_{0}}$

onde Δ é o operador de diferença anterior.

Alguns autores definem a transformada binomial com um sinal adicional, de maneira que não seja inversa consigo mesma:

${\displaystyle t_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}a_{k}}$

cuja inversa é

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}t_{k}}$

A relação entre as funções de geração ordinárias é às vezes chamada a transformada de Euler. Existem dois tipos. Em uma de suas formas, é utilizada para acelerar a convergência de uma série alternada. É dizer que uma tem a seguinte identidada

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}}$

que obtém-se substituindo x=1/2 na expressão anterior. No geral os termos do lado direito da igualdade, reduzem-se de forma muito mais rápida, permitindo desta maneira uma soma numérica rápida.

Também é freqüente a aplicação da transformada de Euler à série hipergeométrica ${\displaystyle \,_{2}F_{1}}$. Neste caso, a transformada de Euler toma a siguinte forma:

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right)}$

A transformada binomial, e sua variação à transformada de Euler, destacam-se por sua conexão com a representação de um número mediante fração contínua. Seja ${\displaystyle 0<x<1}$ tal que sua representação em fração contínua é

${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}$

então

${\displaystyle {\frac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ]}$

e

${\displaystyle {\frac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ]}$

• Operador de diferença

• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• Helmut Prodinger, Some information about the Binomial transform, (1992)
• Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform, (2006)

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