Trigésima segunda proposição de Euclides

A trigésima segunda proposição de Euclides pode ser dividida duas partes:

• 1ª: A soma de dois ângulos internos de um triângulo é igual ao ângulo externo oposto. (teorema do ângulo externo de um triângulo)
• 2ª: A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos (180°). (teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo) ^[1][2]Essa proposição é a recíproca do postulado das paralelas.

A demonstração da 32º Proposição de Euclides. Pode ser encontrada no livro ^[3] Os elementos de Euclides.

Considere um triângulo ABC qualquer.

1. Prolongue o lado BC e marque um ponto D
2. Prolongue AC e marque um ponto F
3. Trace uma paralela de AB que passe por C (podemos fazer isso pela 21º preposição de Euclides) e marque um ponto G acima do segmento AF e outro ponto E abaixo do segmento AF.
4. Como AB é paralela a CE, pela 29º preposição de Euclides, ${\displaystyle A{\hat {B}}C}$ = ${\displaystyle E{\hat {C}}D}$ e ${\displaystyle B{\hat {A}}C}$=${\displaystyle F{\hat {C}}G}$, assim como, ${\displaystyle F{\hat {C}}G}$=${\displaystyle E{\hat {C}}A}$, pela 15º preposição de Euclides.
5. Sendo assim, ${\displaystyle D{\hat {C}}A}$ = ${\displaystyle A{\hat {B}}C}$ + ${\displaystyle B{\hat {A}}C}$, somando ${\displaystyle B{\hat {C}}A}$, teremos que ${\displaystyle A{\hat {B}}C}$ + ${\displaystyle C{\hat {A}}B}$ + ${\displaystyle B{\hat {C}}A}$ é igual ao um ângulo raso, ou seja 180º.

• Os Elementos

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