Funcție mărginită
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/Bounded_and_unbounded_functions.svg/220px-Bounded_and_unbounded_functions.svg.png)
În matematică o funcție f reală sau complexă, definită pe o mulțime X, este mărginită dacă mulțimea valorilor funcției este mărginită. Cu alte cuvinte, există un număr real M astfel încât
pentru orice .[1] Despre o funcție care nu este mărginită se spune că este nemărginită.[2][3]
Dacă f are valoare reală și f(x) ≤ A pentru orice x din X, atunci se spune că funcția este mărginită superior de A. Dacă f(x) ≥ B pentru orice x din X, atunci se spune că funcția este mărginită inferior de B.[2] O funcție reală este mărginită dacă și numai dacă este mărginită atât superior, cât și inferior.[3]
Un caz particular important este un șir mărginit, unde X este considerat ca fiind mulțimea N de numere naturale. Astfel, un șir f = (a0, a1, a 2, ...) este mărginit dacă există un număr real M astfel încât
pentru orice număr natural n.
Definiția mărginirii poate fi generalizată la funcțiile f : X → Y care iau valori într-un spațiu mai general Y prin necesitatea ca imaginea f(X) să fie o mulțime mărginită în Y.
Exemple
- Funcția sinus : este mărginită deoarece pentru orice .[3][4]
- Funcția , definită pentru orice x real cu excepția lui −1 și 1, este nemărginită. Cînd x se apropie de −1 sau de 1, valorile absolute ale acestei funcții cresc. Această funcție poate fi mărginită dacă se limitează domeniul ei, de exemplu la [2, ∞) sau (−∞, −2].
- Funcția , definită pentru orice x real, este mărginită, deoarece pentru orice x.
- Funcția arctangentă, definită drept: sau este monoton crescătoare pentru orice x real și mărginită de radiani.[5]
- Conform teoremei valorilor extreme(d), orice funcție continuă pe un interval închis, cum ar fi este mărginită.[6] În general, orice funcție continuă pe un spațiu compact într-un spațiu metric este mărginită.
- Toate funcțiile complexe care sunt întregi sunt fie nemărginite, fie constante ca o consecință a teoremei lui Liouville(d).[7] În particular, funcția complexă trebuie să fie nemărginită deoarece este întreagă.
- Funcția care ia valoarea 0 pentru x rațional și 1 pentru x irațional este mărginită. Deci o funcție nu trebuie să fie „frumoasă” pentru a fi mărginită. Mulțimea tuturor funcțiilor mărginite definite pe [0, 1] este mult mai mare decât mulțimea funcțiilor continue din acel interval. În plus, funcțiile continue nu trebuie să fie mărginite; de exemplu, funcțiile și definite prin și sunt ambele continui, dar niciuna nu este mărginită.[8] (Totuși, o funcție continuă trebuie să fie mărginită dacă domeniul său este atât închis, cât și mărginit.[8])
Note
- ^ Horvat-Marc Andrei, AM2-Curs-07, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, accesat 2023-05-14
- ^ a b Florin Iacob Cap. III Funcții continue Arhivat în , la Wayback Machine. (curs, p. 169), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-05-14
- ^ a b c en Jeffrey, Alan (). Mathematics for Engineers and Scientists, 5th Edition. CRC Press. ISBN 978-0-412-62150-5.
- ^ en „The Sine and Cosine Functions” (PDF). math.dartmouth.edu. Arhivat din original (PDF) la . Accesat în .
- ^ en Polyanin, Andrei D.; Chernoutsan, Alexei (). A Concise Handbook of Mathematics, Physics, and Engineering Sciences. CRC Press. ISBN 978-1-4398-0640-1.
- ^ en Weisstein, Eric W. „Extreme Value Theorem”. mathworld.wolfram.com. Accesat în .
- ^ en „Liouville theorems - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Accesat în .
- ^ a b en Ghorpade, Sudhir R.; Limaye, Balmohan V. (). A Course in Multivariable Calculus and Analysis. Springer Science & Business Media. p. 56. ISBN 978-1-4419-1621-1.
![]() | Portal Matematică |