Geometria diferențială a curbelor

Geometria diferențială a curbelor este o ramură a geometriei diferențiale care are ca obiectiv studiul diferențial și integral al curbelor în plan și în spațiu.

Definiția 1. Se numește curbă în spațiu dată parametric mulțimea punctelor ${\displaystyle M(x,y,z)}$ din spațiu a căror coordonate sunt date de:

funcțiile reale ${\displaystyle x,y,z}$ fiind continue pe ${\displaystyle [a,b].}$

Definiția 2. Se numește curbă în spațiu mulțimea punctelor ${\displaystyle M(x,y,z)}$ pentru care vectorul de poziție ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}}$ este dat de:

Definiție. Se numește tangentă la curba ${\displaystyle \Gamma }$ în punctul ${\displaystyle M}$ poziția limită a dreptei determinată de punctele ${\displaystyle M}$ și ${\displaystyle M_{1}}$ de pe curbă când punctul ${\displaystyle M_{1}}$ tinde către ${\displaystyle M}$ (dacă această limită există).

Teoremă. Dacă funcțiile ${\displaystyle x,y,z}$ sunt derivabile în ${\displaystyle t}$ și

${\displaystyle x'^{2}(t)+y'^{2}(t)+z'^{2}(t)\neq 0}$

atunci ecuația tangentei la curbă este:

unde ${\displaystyle X,Y,Z}$ sunt coordonatele punctului curent de pe tangentă.

Demonstrație. Conform definiției derivatei unui vector și a tangentei, dacă punctul ${\displaystyle T}$ aparține tangentei atunci vectorii ${\displaystyle {\overrightarrow {MT}}}$   (de coordonate ${\displaystyle X-x(t),\;Y-y(t),\;Z-z(t)}$) și   ${\displaystyle {\overrightarrow {r'(t)}}}$ sunt coliniari, deci coordonatele lor sunt proporționale și se obține relația (3).

Binormala la o curbă într-un punct dat este normala din acel punct și perpendiculară pe planul osculator al curbei din acel punct. Astfel, pentru curba dată de ecuațiile (1), ecuațiile binormalei sunt:

unde ${\displaystyle x,y,z}$ și derivatele lor sunt luate în punctul considerat.

• Geometria diferențială a suprafețelor

Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.