Matrice adjunctă

În matematică matricea adjunctă,^[1] cunoscută și sub numele de transpusa conjugată^[2] sau transpusa hermitiană^[2], a unei matrice complexe ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\,m\times n}$ este o matrice de ${\displaystyle n\times m}$ obținută prin transpunerea lui ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ și conjugarea complexă a fiecărui element (conjugatul complex al lui ${\displaystyle a+ib}$ fiind ${\displaystyle a-ib}$, pentru numere reale ${\displaystyle a}$ și ${\displaystyle b}$). Este adesea notată prin ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$^[1][3], ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$^[3] sau ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}'}$^[4] și foarte obișnuit în fizică prin ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }}$.

Pentru o matrice reală, adjuncta este chiar transpusa sa, ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}$.

Adjuncta unei matrice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\,m\times n}$ este definită formal prin:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {{\boldsymbol {A}}_{ji}}}}$

unde indicii ${\displaystyle ij}$ indică al ${\displaystyle (i,j)}$-lea element, pentru ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ și ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$, iar suprabararea indică conjugatul complex al unui scalar.

Această definiție poate fi scrisă și ca

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}=\left({\overline {\boldsymbol {A}}}\right)^{\mathsf {T}}={\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}}}$

unde ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}$ indică transpusa iar ${\displaystyle {\overline {\boldsymbol {A}}}}$ indică matricea cu elementele conjugate complex.

Adjuncta matricei ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ este notată prin simbolurile:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$, uzual în algebra liniară
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} },}$ uzual în algebra liniară
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger },}$ uzual în mecanica cuantică
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{+}}$, uzual pentru pseudoinversa Moore–Penrose^⁠(d)

În unele cazuri prin ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$ este notată matricea cu doar elementele conjugate complex, fără a fi transpusă.

Se dorește calculul adjunctei următoarei matrice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}}$

Se face transpunerea:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}}$

Apoi se conjugă complex fiecare element:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}}$

O matrice pătrată ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ cu elementele ${\displaystyle a_{ij}}$ se numește

• hermitiană sau autoadjunctă dacă ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$; adică ${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$.
• antihermitiană dacă ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$; adică ${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$.
• normală dacă ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$.
• unitară dacă ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{-1}}$, echivalent ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}}$, echivalent ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {I}}}$.

Chiar dacă ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ nu este pătrată, cele două matrici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}}$ și ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ sunt ambele hermitiene și pozitiv semidefinite.

Adjuncta lui ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ cu elemente reale se reduce la transpusa lui ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ deoarece conjugatul unui număr real este numărul însuși.

Adjuncta poate fi motivată observând că numerele complexe pot fi reprezentate prin matrici reale ${\displaystyle 2\times 2}$, respectând adunarea și înmulțirea matricilor:

${\displaystyle a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.}$

Adică, se asociază fiecărui număr complex ${\displaystyle z}$ matricea reală ${\displaystyle 2\times 2}$ a transformării liniare din planul complex (văzut ca un spațiu vectorial real ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$), la care se aplică înmulțirea complexă a lui ${\displaystyle z}$ în ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Astfel, o matrice ${\displaystyle m\times n}$ de numere complexe ar putea fi bine reprezentată printr-o matrice ${\displaystyle 2m\times 2n}$ de numere reale. Prin urmare, adjuncta apare foarte natural ca rezultat al transpusei unei astfel de matrice — atunci când este privită din nou ca o matrice ${\displaystyle n\times m}$ formată din numere complexe.

• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$ pentru două matrice oarecare ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ și ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ de aceleași dimensiuni.
• ${\displaystyle (z{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {H} }={\overline {z}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ pentru orice număr complex ${\displaystyle z}$ și orice matrice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\,m\times n}$.
• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ pentru orice matrice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\,m\times n}$ și orice matrice ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}\,n\times p}$. De observat că ordinea factorilor este inversată.^[3]
• ${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}}$ pentru orice matrice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\,m\times n}$, de exemplu adjuncta este o involuție.
• Dacă ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ este o matrice pătrată, atunci ${\displaystyle \det \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left({\boldsymbol {A}}\right)}}}$ unde prin ${\displaystyle \operatorname {det} (A)}$ este notat determinantul lui ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.
• Dacă ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ este o matrice pătrată, atunci ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}})}}}$ unde prin ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$ este notată urma lui ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ este inversabilă dacă și numai dacă ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ este inversabilă, iar în acest caz ${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)^{\mathrm {H} }}$.
• valorile proprii ale ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ sunt conjugatele complexe ale valorilor proprii ale ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.
• ${\displaystyle \left\langle {\boldsymbol {A}}x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}}$ pentru orice matrice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\,m\times n}$, orice vector ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ și orice vector ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$. Aici, prin ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$ este notat produsul intern complex standard pe ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$, și similar pentru ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$.

Portal Matematică

• en Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Adjoint matrix”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104