Matrice permutare

Matricea permutare asociată permutării ${\displaystyle \pi }$ și notată ${\displaystyle P_{\pi }}$ este matricea pătrată cu elemente 0 sau 1 care se obține din matricea unitate ${\displaystyle I_{n}}$ modificând poziția liniilor în concordanță cu ${\displaystyle \pi ^{-1}}$, în sensul că linia ${\displaystyle \pi _{i}}$ din matricea ${\displaystyle I_{n}}$ trece în linia ${\displaystyle i}$ a matricii ${\displaystyle P_{\pi }}$ , unde:

${\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}\pi _{1}&\pi _{2}&\pi _{3}&...&\pi _{n}\end{pmatrix}}}$ o permutare a mulțimii {1; 2; 3; ...;n}, adică o aplicație bijectivă de la mulțime la ea însăși:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&...&i&...&n\\\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow \\\pi _{1}&\pi _{2}&...&\pi _{i}&...&\pi _{n}\end{pmatrix}}}$

și ${\displaystyle \pi ^{-1}}$ inversa sa

${\displaystyle \pi ^{-1}={\begin{pmatrix}\pi _{1}&\pi _{2}&...&\pi _{i}&...&\pi _{n}\\\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow &\downarrow \\1&2&...&i&...&n\end{pmatrix}}}$

Exemplu

Pentru permutarea ${\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}}$ , matricea corespunzătoare permutării este:

${\displaystyle P_{\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

1) Produsul dintre o matrice permutare și o matrice coloană este:

${\displaystyle P_{\pi }\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{\pi _{1}}\\x_{\pi _{2}}\\\vdots \\x_{\pi _{n}}\\\end{pmatrix}}}$

adică matricea ${\displaystyle P_{\pi }}$ are ca efect permutarea liniilor matricei coloană conform permutării ${\displaystyle \pi }$.

Exemplul 1

${\displaystyle P_{\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}\cdot X={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\x_{1}\\x_{3}\end{pmatrix}}}$

În particular produsul unei matrice permutare cu o matrice ${\displaystyle A}$ cu ${\displaystyle n}$ linii și ${\displaystyle m}$ coloane este matricea obținută din ${\displaystyle A}$ aplicând permutarea ${\displaystyle \pi }$ liniilor sale.

Exemplul 2

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle P_{\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}\cdot A={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&5&6\\1&2&3\\7&8&9\end{pmatrix}}}$

2) Determinantul unei matrici permutare ${\displaystyle P_{n}}$ este 1 dacă permutarea este pară sau -1 dacă permutarea este impară.

Exemplu

${\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}2&1&3\end{pmatrix}}}$ - este permutare impară ${\displaystyle \Rightarrow detP_{\pi }=-1}$

Consecință: 1) O matrice permutare este inversabilă.

2) Inversa unei matrice permutare conicide cu transpusa sa.

${\displaystyle P_{\pi }^{-1}=P_{\pi }^{t}}$.

Matricele permutare intervin în metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare.