Micul icosicosidodecaedru

Micul icosicosidodecaedru
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	52 (20 triunghiuri       12 pentagrame       20 hexagoane)
Laturi (muchii)	120
Vârfuri	60
χ	−8
Configurația vârfului	6.5/2.6.3[1]
Simbol Wythoff	5/2 3 | 3[1]
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Ih, [5,3], (*532) [1]
Volum	≈ 31,615 a3   (a = latura)
Poliedru dual	micul hexaconatedru icosacronic
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

În geometrie micul icosicosidodecaedru este un poliedru stelat uniform, cu indicele U₃₁. Are 52 de fețe (20 de triunghiuri, 12 pentagrame și 12 decagrame), 120 de laturi și 60 de vârfuri.^[1][2] Având 52 de fețe, este un pentacontadiedru.

Este reprezentat prin diagramele Coxeter–Dynkin . Figura vârfului este un patrulater autointersectat. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă muchii sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Are simbolul Wythoff 5/2 3 | 3.^[1]

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui mic dodecicosidodecaedru centrat în origine, cu lungimea laturii de 2, sunt toate permutările pare ale:^[3][4]

${\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm 2\varphi ,\,\pm (\varphi -1)\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,0,\,\pm (\varphi +1),\,\pm (2\varphi -1)\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm (\varphi +1)\,\right)}$

unde ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ este secțiunea de aur.

Raza sferei circumscrise pentru lungimea laturii egală cu a este:^[2]

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {34+6{\sqrt {5}}}}\,a\approx 1,721489\,a.}$

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

${\displaystyle V=\left(10+{\frac {29}{3}}{\sqrt {5}}\right)\,a^{3}\approx 31,615324\,a^{3}}$

Are în comun aranjamentul vârfurilor cu marele dodecaedru trunchiat stelat. În plus, are în comun aranjamentul laturilor cu micul icosicosidodecaedru ditrigonal (având fețele triunghiulare și pentagramice în comun) și cu micul dodecicosaedru (având fețele hexagonale în comun).

Marele dodecaedru trunchiat stelat

Micul icosicosidodecaedru

Micul dodecicosidodecaedru ditrigonal

Micul dodecicosaedru

Dualul său este micul hexaconatedru icosacronic.^[5]

• en Coxeter, H. S. M. (13 mai 1954). „Uniform Polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 246 (916): 401–450. doi:10.1098/rsta.1954.0003. 
• en Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. OCLC 1738087. 

• en Uniform polyhedra and duals

Portal Matematică

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”.  Cheie: siid