În matematică produsul Kronecker, uneori notat cu ⊗, este o operație pe două matrici de dimensiuni arbitrare rezultând o matrice de blocuri. Este o particularizare a produsului tensorial(d) (care este notat cu același simbol) de la vectori la matrici, iar rezultatul este matricea aplicației liniare „produs tensorial” în raport cu o alegere standard a bazei. Produsul Kronecker trebuie să fie distins de produsul matricial obișnuit, care este o operație complet diferită. Produsul Kronecker mai este numit uneori „produs direct de matrici”.[1]
Definiție
Dacă A este o matrice m × n iar B o matrice p × q, atunci produsul Kronecker A ⊗ B este matricea de blocuri pm × qn:
adică explicit:
Folosind și pentru a nota câtul și restul, și numerotând elementele matricei începând de la 0 se obține și La numerotarea uzuală, care începe de la 1, se obține și
Dacă A și B reprezintă transformări liniare V1 → W1, respectiv V2 → W2, atunci produsul tensorial a două aplicații este reprezentat de A ⊗ B, care este același cu V1 ⊗ V2 → W1 ⊗ W2.
Produsul Kronecker este un caz particular al produsului tensorial, deci este bilinar și asociativ:
unde A, B și C sunt matrici, 0 este matricea zero, iar k este un scalar.
Necommutative: În general, A ⊗ B și B ⊗ A sunt matrici diferite. Totuși, A ⊗ B și B ⊗ A sunt permutări echivalente, adică există matricile de permutare P și Q astfel încât[2]
Dacă A și B sunt matrici pătrate, atunci A ⊗ B și B ⊗ A sunt permutări pare similare, adică se poate lua P = QT. Matricile P și Q sunt matrici amestecate perfect.[3] Matricea amestecată perfect Sp,q poate fi construită luând felii din matricea unitate Ir, unde .
Pentru indicarea submatricilor este folosită notația cu două puncte din MATLAB, iar Ir este matricea unitate r × r. Dacă și , atunci
Proprietatea produsului mixt: Dacă A, B, C și D sunt matrici cu dimensiuni astfel încât se pot forma produsele matriciale AC și BD, atunci
Aceasta se numește proprietatea produsului mixt, deoarece combină produsul matricial obișnuit cu produsul Kronecker. Ca o consecință imediată,
În particular, folosind transpunerea de mai jos, înseamnă că dacă
și Q și U sunt matrici ortogonale(d) (sau matrici unitate), atunci A este și ea ortogonală (respectiv unitate). Produsul Kronecker mixt matrice-vector poate fi scris astfel:
unde este inversul operatorului de vectorizare (format prin remodelarea vectorului ).
Produsul Hadamard: Proprietatea produsului mixt funcționează și pentru produsul pe elemente. Dacă A și C sunt matrici de aceeași dimensiune, iar B și D sunt și ele matrici de aceeași dimensiune, atunci
Inversul produsului Kronecker: Rezultă că A ⊗ B este inversabil dacă și numai dacă atât A, cât și B sunt inversabile, caz în care inversul este dat de
Proprietatea produsului inversabil este valabilă și pentru pseudoinversa Moore–Penrose(d),[4] adică
Transpusa: Transpusa și adjuncta sunt distributive față de produsul Kronecker:
and
Determinantul: Fie A o matrice n × n și B o matrice m × m. Atunci
Exponentul lui | A | este ordinul lui B, iar exponentul lui | B | este ordinul lui A.
Suma și ridicarea la putere Kronecker: Dacă A este n × n, B este m × m, iar Ik este matricea unitate k × k, atunci se poate defini ceea ce uneori este numită suma Kronecker, ⊕, astfel:
Aceasta este diferită de adunarea obișnuită a două matrici. Această operație este legată de produsul tensorial din algebrele Lie(d). Formula pentru ridicarea la putere a matricilor, utilă în unele calcule numerice, este:[5]
Sumele Kronecker apar în mod natural în fizică când se iau în considerare ansambluri de sisteme care nu interacționează. Fie Hk al k-lea hamiltonian al unui astfel de sistem. Atunci hamiltonianul total al ansamblului este
Proprietăți abstracte
Spectrul(d):
Fie matricile pătrate A de dimensiune n și B de dimensiune m. Fie λ1, ... , λn valorile proprii ale lui A și μ1, ... , μm cele ale lui B (corespunzător multiplicității). Atunci valorile proprii ale lui A ⊗ B sunt
Rezultă că urma și determinantul unui produs Kronecker sunt date de
Valori singulare:
Dacă A și B sunt matrici dreptunghiulare, atunci se pot lua în considerare valorile singulare(d). Se presupune că A are rA valori singulare diferite de zero, și anume
Similar, se notează valorile singulare diferite de zero ale B cu
Atunci produsul Kronecker A ⊗ B are rArB valori singulare diferite de zero, și anume
Deoarece rangul unei matrice este egal cu numărul de valori singulare diferite de zero, rezultă că
Relația cu produsul tensorial abstract:
Produsul Kronecker al matricilor corespunde produsului tensorial abstract al aplicațiilor liniare. Mai exact, dacă spațiile vectoriale V, W, X și Y au bazele {v1 , ... , vm},{w1, ... , wn},{x1, ... , xd}, și respectiv {y1, ... , ye}, și dacă matricile A și B reprezintă transformările liniare S : V → X și respectiv T : W → Y, în bazele corespunzătoare, atunci matricea A ⊗ B reprezintă produsul tensorial al celor două aplicații, S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y cu privire la baza {v1 ⊗ w1, v1 ⊗ w2, ... , v2 ⊗ w1, ... , vm ⊗ wn} din V ⊗ W și baza definită în mod similar pentru X ⊗ Y cu proprietatea că A ⊗ B(vi ⊗ wj) = (Avi) ⊗ (Bwj), unde i și j sunt numere întregi în intervalul corespunzător.[6]
Când V și W sunt algebre Lie, iar S : V → V și T : W → W sunt homomorfisme de algebre Lie, suma Kronecker a lui A și B reprezintă homomorfismele de algebră Lie induse V ⊗ W → V ⊗ W.
Relația cu produsul matricial de grafuri: Produsul Kronecker al matricilor de adiacență a două grafuri este matricea de adiacență a grafului produsului tensorial. Suma Kronecker a matricilor de adiacență a două grafuri este matricea de adiacență a grafului produsului cartezian.[7]
Note
^en Weisstein, Eric W. „Kronecker product”. mathworld.wolfram.com. Accesat în .
^en Henderson, H.V.; Searle, S.R. (). „The vec-permutation matrix, the vec operator and Kronecker products: A review” (PDF). Linear and Multilinear Algebra. 9 (4): 271–288. doi:10.1080/03081088108817379. hdl:1813/32747 .
^en Van Loan, Charles F. (). „The ubiquitous Kronecker product”. Journal of Computational and Applied Mathematics. 123 (1–2): 85–100. Bibcode:2000JCoAM.123...85L. doi:10.1016/s0377-0427(00)00393-9 .
^en Langville, Amy N.; Stewart, William J. (). „The Kronecker product and stochastic automata networks”. Journal of Computational and Applied Mathematics. 167 (2): 429–447. Bibcode:2004JCoAM.167..429L. doi:10.1016/j.cam.2003.10.010 .
^en Brewer, J.W. (). „A note on Kronecker matrix products and matrix equation systems”. SIAM Journal on Applied Mathematics. 17 (3): 603–606. doi:10.1137/0117057.
^en Dummit, David S.; Foote, Richard M. (). Abstract Algebra (ed. 2). New York: John Wiley and Sons. pp. 401–402. ISBN 978-0-471-36857-1.
^en See Knuth, D.E. „Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms” (ed. zeroth printing, revision 2). answer to Exercise 96. Arhivat din original la . Accesat în ,Parametru necunoscut |arhivat= ignorat (ajutor); Mai multe valori specificate pentru |urlarhivă= și |archive-url= (ajutor); Mai multe valori specificate pentru |deadurl= și |dead-url= (ajutor) to appear as part of Knuth, D.E. The Art of Computer Programming. 4A.
Bibliografie
en Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46713-1.
en Jain, Anil K. (). Fundamentals of Digital Image Processing. Prentice Hall. Bibcode:1989fdip.book.....J. ISBN 978-0-13-336165-0.
en Steeb, Willi-Hans (). Matrix Calculus and Kronecker Product with Applications and C++ Programs. World Scientific Publishing. ISBN 978-981-02-3241-2.
en Steeb, Willi-Hans (). Problems and Solutions in Introductory and Advanced Matrix Calculus. World Scientific Publishing. ISBN 978-981-256-916-5.
en Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz (), „Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products”, International Journal of Information and Systems Sciences, 4: 160–177