În analiza matematică, Criteriul majorării furnizează o condiție suficientă privind convergența unui șir.
Enunț
Fie (an), (bn), (xn) trei șiruri cu proprietățile:
![{\displaystyle a_{n}\leq x_{n}\leq b_{n},\forall n\geq n_{0};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/087fde7db91016c8b4816d929e02da43a1c32846)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a909cd3ae4c4816b0e9ae0075da5e0a8c5f7af)
Atunci șirul (xn) este convergent și are limita a.
Demonstrație
Fie ε>0, ales arbitrar. Cum
va exista un rang
astfel încât:
să fie îndeplinite condițiile:
și ![{\displaystyle \left\vert b_{n}-a\right\vert <\epsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ae5932a600145a5658e0dc394a383bc84d5bed)
- Din condițiile de mai sus avem:
și
.
De aici:
![{\displaystyle \forall n\geq n_{\epsilon },\;\;-\epsilon <a_{n}-a\leq x_{n}-a\leq b_{n}-a<\epsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014577be1b28bdde26838327293d01ce7b8d30aa)
ceea ce arată că:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2fbb5edc239aafda3dd45ec773e006fa5b055e)
Exemplificare
Cu ajutorul criteriului majorării se poate calcula limita seriei:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}\right),k\in \mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1884b61521d312915d60027fb7beca1bccd7098f)
Rezolvare
Se notează:
![{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a7bce2298cb129f5dfbfeba0e56f09e54ba2be)
Se observă că:
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+kn}}}\;\;(de\;kn\;ori)\;\;\leq a_{n}\leq {\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}+\cdots +{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+1}}}\;\;(de\;kn\;ori)\;\;\iff }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ee6c6c0b374b3bb48daf02bd3a26facbfb8ea7)
(1)
Deoarece:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {n^{2}+kn}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{n{\sqrt {1+{\frac {k}{n}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fe1ae5ebd01a036a3190427b4fef4001958d52)
și ![{\displaystyle \;\;\lim _{n\to \infty }{\frac {kn}{\sqrt {n^{1}+1}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {k}{\sqrt {1+{\frac {1}{n^{2}}}}}}=k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5064e6b948e3de006121881caacb7380d33fc8b0)
Prin urmare:
(2)
Din (1) și (2), aplicând criteriul majorării, rezultă:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d4b16cebea2a2056ee8c0c89f81445035d72f1)