Valuare p-adică

În teoria numerelor, valuarea p-adică^[1] sau ordinul p-adic al unui număr întreg n este exponentul celei mai mari puteri a numărului prim p care îl divide pe n. Se notează cu ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$. Echivalent, ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ este exponentul la care apare ${\displaystyle p}$ în descompunerea în factori primi a lui ${\displaystyle n}$.

Valuarea p-adică este o valuare și dă naștere unui analog al valorii absolute obișnuite. În timp ce completarea numerelor raționale în raport cu valoarea absolută obișnuită are ca rezultat numerele reale ${\displaystyle \mathbb {R} }$, completarea numerelor raționale în raport cu valoarea absolută ${\displaystyle p}$-adică are ca rezultat numerele p-adice ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.^[2]

Fie p un număr prim.

Valuarea p-adică a unui număr întreg ${\displaystyle n}$ este definită ca fiind

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{dacă }}n\neq 0\\\infty &{\text{dacă }}n=0,\end{cases}}}$

unde ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ desemnează mulțimea numerelor naturale (inclusiv zero) și ${\displaystyle m\mid n}$ denotă divizibilitatea lui ${\displaystyle n}$ prin ${\displaystyle m}$. În particular, ${\displaystyle \nu _{p}}$ este o funcție ${\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$.^[3]

De exemplu, ${\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}$, ${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$ și ${\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}$ deoarece ${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$.

Uneori se folosește notația ${\displaystyle p^{k}\parallel n}$, însemnând ${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$.^[4]

Dacă ${\displaystyle n}$ este un număr întreg pozitiv, atunci

${\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}$;

aceasta rezultă direct din ${\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}$.

Valuarea p-adică poate fi extinsă la numerele raționale prin funcția

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$^[5][6]

definită prin

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).}$

De exemplu, ${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$ și ${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$ deoarece ${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$.

Unele proprietăți sunt:

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s),}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}.}$

Mai mult, dacă ${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$, atunci

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}},}$

unde ${\displaystyle \min }$ este minimul (adică cel mai mic dintre cele două).

Valoarea absolută p-adică pe ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ este funcția

${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

definită prin

${\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}$

Astfel, ${\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}$ pentru orice ${\displaystyle p}$ și, de exemplu, ${\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}}$ și ${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}$

Valoarea absolută p-adică este:

nenegativă	${\displaystyle |r|_{p}\geq 0}$
pozitiv definită	${\displaystyle |r|_{p}=0\iff r=0}$
multiplicativă	${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$
nearhimediană	${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$

Din proprietatea de multiplicativitate ${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$ rezultă că ${\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}$ pentru rădăcinile unității ${\displaystyle 1}$ și ${\displaystyle -1}$ și în consecință și ${\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}.}$ Subaditivitatea ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}$ rezultă din inegalitatea triunghiului nearhimediană ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$.

Alegerea bazei p în puterea ${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$ nu face nicio diferență pentru majoritatea proprietăților, dar menține formula produsului:

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

unde produsul se face după toate numerele prime p și valoarea absolută obișnuită, notată ${\displaystyle |r|_{0}}$. Aceasta rezultă considerând descompunerea în factori primi: fiecare factor ${\displaystyle p^{k}}$ contribuie prin inversul său la valoarea absolută p-adică a sa, iar apoi valoarea absolută arhimediană uzuală le simplifică pe toate.

Un spațiu metric poate fi format pe mulțimea ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ cu o metrică (nearhimediană, invariantă la translații)

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

definită prin

${\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}$

Completarea lui ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ în raport cu această metrică conduce la mulțimea ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ a numerelor p-adice.

• Număr p-adic
• Valuare (algebră)
• Proprietate arhimediană
• Multiplicitate (matematică)
• Teorema lui Ostrowski
• Formula lui Legendre