Натуральный логарифм 2

Натуральный логарифм 2 в десятичной системе счисления (последовательность A002162 в OEIS) равен приблизительно

ln ⁡ 2 ≈ 0,693 147 180 559 945 309 417 232 121 458 176 568 075 500 134 360 255 254 120 680 009 493 393 621 969 694 715 605 863 326 996 418 687 {\displaystyle \ln 2\approx 0{,}693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458\,176\,568\,075\,500\,134\,360\,255\,254\,120\,680\,009\,493\,393\,621\,969\,694\,715\,605\,863\,326\,996\,418\,687}

как показывает первая строка в таблице ниже. Логарифм числа 2 с другим основанием (b) можно вычислить из соотношения

log b ⁡ 2 = ln ⁡ 2 ln ⁡ b . {\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.}

Десятичный логарифм числа 2 (A007524) приблизительно равен

log 10 ⁡ 2 ≈ 0,301 029 995 663 981 195 213 738 894 724 493 026 768 189 881 462 108 541 310 427 461 127 108 189 274 424 509 486 927 252 118 186 172 040 684 {\displaystyle \log _{10}2\approx 0{,}301\,029\,995\,663\,981\,195\,213\,738\,894\,724\,493\,026\,768\,189\,881\,462\,108\,541\,310\,427\,461\,127\,108\,189\,274\,424\,509\,486\,927\,252\,118\,186\,172\,040\,684}

Обратное число к данному представляет собой двоичный логарифм 10:

log 2 ⁡ 10 = 1 log 10 ⁡ 2 ≈ 3 , 32 192 809 488 736 234 787 031 942 948 939 017 586 483 139 302 458 061 205 475 639 581 593 477 660 862 521 585 013 974 335 937 015 {\displaystyle \log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3{,}32\,192\,809\,488\,736\,234\,787\,031\,942\,948\,939\,017\,586\,483\,139\,302\,458\,061\,205\,475\,639\,581\,593\,477\,660\,862\,521\,585\,013\,974\,335\,937\,015} (A020862).
Число Приближённое значение натурального логарифма OEIS
2 0,693147180559945309417232121458 последовательность A002162 в OEIS
3 1,09861228866810969139524523692 последовательность A002391 в OEIS
4 1,38629436111989061883446424292 последовательность A016627 в OEIS
5 1,60943791243410037460075933323 последовательность A016628 в OEIS
6 1,79175946922805500081247735838 последовательность A016629 в OEIS
7 1,94591014905531330510535274344 последовательность A016630 в OEIS
8 2,07944154167983592825169636437 последовательность A016631 в OEIS
9 2,19722457733621938279049047384 последовательность A016632 в OEIS
10 2,30258509299404568401799145468 последовательность A002392 в OEIS

По теореме Линдемана — Вейерштрасса натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в общем случае, для любого положительного алгебраического числа, кроме 1), является трансцендентным числом.

Неизвестно, является ли ln 2 нормальным числом.

Представление в виде рядов

∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = ln ⁡ 2. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.} (Ряд Меркатора)
∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) = ln ⁡ 2. {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.}
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 2 ln ⁡ 2 − 1. {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)}}=2\ln 2-1.}
∑ n = 1 ∞ 1 n ( 4 n 2 − 1 ) = 2 ln ⁡ 2 − 1. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.}
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ( 4 n 2 − 1 ) = ln ⁡ 2 − 1. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.}
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ( 9 n 2 − 1 ) = 2 ln ⁡ 2 − 3 2 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\tfrac {3}{2}}.}
∑ n = 2 ∞ 1 2 n [ ζ ( n ) − 1 ] = ln ⁡ 2 − 1 2 . {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\tfrac {1}{2}}.}
∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 [ ζ ( n ) − 1 ] = 1 − γ − ln ⁡ 2 2 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.}
∑ n = 1 ∞ 1 2 2 n ( 2 n + 1 ) ζ ( 2 n ) = 1 − ln ⁡ 2 2 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)}}\zeta (2n)={\frac {1-\ln 2}{2}}.}
ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n = Li 1 ⁡ ( 1 2 ) . {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\operatorname {Li} _{1}\left({\frac {1}{2}}\right).} (Полилогарифм)
ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ ( 1 3 n + 1 4 n ) 1 n . {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{n}}}+{\frac {1}{4^{n}}}\right){\frac {1}{n}}.}
ln ⁡ 2 = 2 3 + 1 2 ∑ k ≥ 1 ( 1 2 k + 1 4 k + 1 + 1 8 k + 4 + 1 16 k + 12 ) 1 16 k . {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.}
ln ⁡ 2 = 2 3 ∑ k ≥ 0 1 9 k ( 2 k + 1 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.}
ln ⁡ 2 = ∑ k ≥ 0 ( 14 31 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) + 6 161 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) + 10 49 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ) . {\displaystyle \ln 2=\sum _{k\geq 0}\left({\frac {14}{31^{2k+1}(2k+1)}}+{\frac {6}{161^{2k+1}(2k+1)}}+{\frac {10}{49^{2k+1}(2k+1)}}\right).}
ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 4 n 2 − 2 n . {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}.}
ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 2 ( − 1 ) n + 1 ( 2 n − 1 ) + 1 8 n 2 − 4 n . {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}.}

(здесь через γ обозначена постоянная Эйлера — Маскерони, ζ — дзета-функция Римана).

Иногда к данной категории формул относят формулу Бэйли — Боруэйна — Плаффа:

ln ⁡ 2 = 1 2 + 1 2 ⋅ 2 2 + 1 3 ⋅ 2 3 + 1 4 ⋅ 2 4 + 1 5 ⋅ 2 5 + ⋯ = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k ⋅ k = 1 2 ∑ k = 0 ∞ [ 1 2 k ( 1 k + 1 ) ] = 1 2 P ( 1 , 2 , 1 , ( 1 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2^{2}}}+{\frac {1}{3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1}{4\cdot 2^{4}}}+{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}\cdot k}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{2^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}P{\big (}1,2,1,(1){\big )}.\end{aligned}}}

Представление в виде интегралов

∫ 0 1 d x 1 + x = ln ⁡ 2 ,  или, равносильно,  ∫ 1 2 d x x = ln ⁡ 2. {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\ln 2,{\text{ или, равносильно, }}\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2.}
∫ 1 ∞ d x ( 1 + x 2 ) ( 1 + x ) 2 = 1 − ln ⁡ 2 4 . {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2}}}={\frac {1-\ln 2}{4}}.}
∫ 0 ∞ d x 1 + e n x = ln ⁡ 2 n ; ∫ 0 ∞ d x 3 + e n x = 2 ln ⁡ 2 3 n . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx}}}={\frac {\ln 2}{n}};\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx}}}={\frac {2\ln 2}{3n}}.}
∫ 0 ∞ 1 e x − 1 − 2 e 2 x − 1 d x = ln ⁡ 2. {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {2}{e^{2x}-1}}\,dx=\ln 2.}
∫ 0 ∞ e − x 1 − e − x x d x = ln ⁡ 2. {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2.}
∫ 0 1 ln ⁡ ( x 2 − 1 x ln ⁡ x ) d x = − 1 + ln ⁡ 2 + γ . {\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \left({\frac {x^{2}-1}{x\ln x}}\right)dx=-1+\ln 2+\gamma .}
∫ 0 π 3 tg ⁡ x d x = 2 ∫ 0 π 4 tg ⁡ x d x = ln ⁡ 2. {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\operatorname {tg} x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\operatorname {tg} x\,dx=\ln 2.}
∫ − π 4 π 4 ln ⁡ ( sin ⁡ x + cos ⁡ x ) d x = − π ln ⁡ 2 4 . {\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{\frac {\pi }{4}}\ln \left(\sin x+\cos x\right)\,dx=-{\frac {\pi \ln 2}{4}}.}
∫ 0 1 x 2 ln ⁡ ( 1 + x ) d x = 2 ln ⁡ 2 3 − 5 18 . {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)\,dx={\frac {2\ln 2}{3}}-{\frac {5}{18}}.}
∫ 0 1 x ln ⁡ ( 1 + x ) ln ⁡ ( 1 − x ) d x = 1 4 − ln ⁡ 2. {\displaystyle \int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {1}{4}}-\ln 2.}
∫ 0 1 x 3 ln ⁡ ( 1 + x ) ln ⁡ ( 1 − x ) d x = 13 96 − 2 ln ⁡ 2 3 . {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {13}{96}}-{\frac {2\ln 2}{3}}.}
∫ 0 1 ln ⁡ x ( 1 + x ) 2 d x = − ln ⁡ 2. {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2}}}\,dx=-\ln 2.}
∫ 0 1 ln ⁡ ( 1 + x ) − x x 2 d x = 1 − 2 ln ⁡ 2. {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2}}}\,dx=1-2\ln 2.}
∫ 0 1 d x x ( 1 − ln ⁡ x ) ( 1 − 2 ln ⁡ x ) = ln ⁡ 2. {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)}}=\ln 2.}
∫ 1 ∞ ln ⁡ ( ln ⁡ x ) x 3 d x = − γ + ln ⁡ 2 2 . {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \left(\ln x\right)}{x^{3}}}\,dx=-{\frac {\gamma +\ln 2}{2}}.}


Другие формы представления числа

Разложение Пирса имеет вид (A091846)

ln ⁡ 2 = 1 − 1 1 ⋅ 3 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 12 − ⋯ . {\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .}

Разложение Энгеля (A059180):

ln ⁡ 2 = 1 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 7 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 9 + ⋯ . {\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .}

Разложение в виде котангенсов имеет вид A081785

ln ⁡ 2 = ctg ⁡ ( arcctg ⁡ 0 − arcctg ⁡ 1 + arcctg ⁡ 5 − arcctg ⁡ 55 + arcctg ⁡ 14187 − ⋯ ) . {\displaystyle \ln 2=\operatorname {ctg} ({\operatorname {arcctg} 0-\operatorname {arcctg} 1+\operatorname {arcctg} 5-\operatorname {arcctg} 55+\operatorname {arcctg} 14187-\cdots }).}

Представление в виде бесконечной суммы дробей[1] (знакопеременный гармонический ряд):

ln ⁡ 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ . {\displaystyle \ln 2=1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}-\cdots .}

Также можно представить натуральный логарифм 2 в виде разложения в ряд Тейлора:

ln ⁡ 2 = 1 2 + 1 12 + 1 30 + 1 56 + 1 90 + ⋯ {\textstyle \quad \ln 2={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{56}}+{\tfrac {1}{90}}+\cdots }

Представление в виде обобщённой непрерывной дроби:[2]

ln ⁡ 2 = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 2 2 + 2 5 + 3 2 + 3 7 + 4 2 + ⋱ = 2 3 − 1 2 9 − 2 2 15 − 3 2 21 − ⋱ {\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}

Вычисление других логарифмов

Если известно значение ln 2, то для вычисления логарифмов других натуральных чисел можно табулировать логарифмы простых чисел, а логарифмы смешанных чисел c затем определять исходя из разложения на простые множители:

c = 2 i 3 j 5 k 7 l ⋯ → ln ⁡ c = i ln ⁡ 2 + j ln ⁡ 3 + k ln ⁡ 5 + l ln ⁡ 7 + ⋯ {\displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln c=i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5+l\ln 7+\cdots }

В таблице представлены логарифмы некоторых простых чисел.

Простое число Приблизительное значение натурального логарифма OEIS
11 2,39789527279837054406194357797 последовательность A016634 в OEIS
13 2,56494935746153673605348744157 последовательность A016636 в OEIS
17 2,83321334405621608024953461787 последовательность A016640 в OEIS
19 2,94443897916644046000902743189 последовательность A016642 в OEIS
23 3,13549421592914969080675283181 последовательность A016646 в OEIS
29 3,36729582998647402718327203236 последовательность A016652 в OEIS
31 3,43398720448514624592916432454 последовательность A016654 в OEIS
37 3,61091791264422444436809567103 последовательность A016660 в OEIS
41 3,71357206670430780386676337304 последовательность A016664 в OEIS
43 3,76120011569356242347284251335 последовательность A016666 в OEIS
47 3,85014760171005858682095066977 последовательность A016670 в OEIS
53 3,97029191355212183414446913903 последовательность A016676 в OEIS
59 4,07753744390571945061605037372 последовательность A016682 в OEIS
61 4,11087386417331124875138910343 последовательность A016684 в OEIS
67 4,20469261939096605967007199636 последовательность A016690 в OEIS
71 4,26267987704131542132945453251 последовательность A016694 в OEIS
73 4,29045944114839112909210885744 последовательность A016696 в OEIS
79 4,36944785246702149417294554148 последовательность A016702 в OEIS
83 4,41884060779659792347547222329 последовательность A016706 в OEIS
89 4,48863636973213983831781554067 последовательность A016712 в OEIS
97 4,57471097850338282211672162170 последовательность A016720 в OEIS

На третьем шаге логарифмы рациональных чисел r = a/b вычисляются как ln r = ln a − ln b, логарифмы корней: ln n√c = 1/n ln c.

Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 распределены достаточно плотно: определение степени 2i, близкой к степени bj другого числа b сравнительно несложно.

Известные значения

Это таблица последних записей по вычислению цифр ln ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \ln(2)} . По состоянию на декабрь 2018 года в ней было вычислено больше цифр, чем в любом другом натуральном логарифме[3][4] натурального числа, кроме 1.

Дата Количество значащих цифр Авторы вычисления
7 января 2009 г. 15 500 000 000 A.Yee & R.Chan
4 февраля 2009 г. 31 026 000 000 A.Yee & R.Chan
21 февраля 2011 г. 50 000 000 050 Alexander Yee
14 мая 2011 г. 100 000 000 000 Shigeru Kondo
28 февраля 2014 г. 200 000 000 050 Shigeru Kondo
12 июля 2015 г. 250 000 000 000 Ron Watkins
30 января 2016 г. 350 000 000 000 Ron Watkins
18 апреля 2016 г. 500 000 000 000 Ron Watkins
10 декабря 2018 г. 600 000 000 000 Michael Kwok
26 апреля 2019 г., 1 000 000 000 000 Jacob Riffee
19 августа 2020 г. 1 200 000 000 100 Seungmin Kim[5][6]

Примечания

  1. ↑ Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). — Penguin, 1997. — P. 29. — ISBN 0140261494.
  2. ↑ Borwein, J.; Crandall, R.; Free, G. On the Ramanujan AGM Fraction , I: The Real-Parameter Case (англ.) // Exper. Math.[англ.] : journal. — 2004. — Vol. 13. — P. 278—280. — doi:10.1080/10586458.2004.10504540. Архивировано 14 октября 2022 года.
  3. ↑ y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program  (неопр.). www.numberworld.org. Дата обращения: 19 февраля 2021. Архивировано 16 апреля 2015 года.
  4. ↑ Natural Log of 2  (неопр.). www.numberworld.org. Дата обращения: 19 февраля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.
  5. ↑ y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program  (неопр.). web.archive.org (15 сентября 2020). Дата обращения: 19 февраля 2021. Архивировано 16 апреля 2015 года.
  6. ↑ Natural Logarithm of 2 (Log(2)) (англ.). Polymath Collector (19 августа 2020). Дата обращения: 19 февраля 2021. Архивировано 17 октября 2020 года.

Литература

  • Brent, Richard P. Fast multiple-precision evaluation of elementary functions (англ.) // J. ACM : journal. — 1976. — Vol. 23, no. 2. — P. 242—251. — doi:10.1145/321941.321944.
  • Uhler, Horace S. Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17 (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1940. — Vol. 26. — P. 205—212. — doi:10.1073/pnas.26.3.205.
  • Sweeney, Dura W. On the computation of Euler's constant (англ.) // Mathematics of Computation[англ.] : journal. — 1963. — Vol. 17. — P. 170—178. — doi:10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X.
  • Chamberland, Marc. Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes (англ.) // Journal of Integer Sequences : journal. — 2003. — Vol. 6. — P. 03.3.7. Архивировано 6 июня 2011 года.
  • Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús. Construction of binomial sums for π and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas (англ.) // Applied Math. E-Notes : journal. — 2007. — Vol. 7. — P. 237—246.
  • Wu, Qiang. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers (англ.) // Mathematics of Computation[англ.] : journal. — 2003. — Vol. 72, no. 242. — P. 901—911. — doi:10.1090/S0025-5718-02-01442-4.

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. Natural logarithm of 2 (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal The logarithm constant:log 2  (неопр.).


Перейти к шаблону «Иррациональные числа»