N-эллипс

N-эллипс — обобщение эллипса, имеющее более двух фокусов.^[1] N-эллипсы называют также мультифокальными эллипсами,^[2] полиэллипсами^[3], k-эллипсами,^[4] эллипсами Чирнхауса. Впервые такие фигуры исследовал Джеймс Максвелл в 1846 году.^[5]

Пусть на плоскости задано n точек (u_i, v_i) (фокусы), тогда n-эллипс является геометрическим местом точек плоскости, для которых сумма расстояний до n фокусов является постоянной величиной d. В виде формулы данное утверждение записывается как

${\displaystyle \left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.}$

1-эллипс представляет собой окружность, 2-эллипс — обычный эллипс. Обе данные кривые являются алгебраическими кривыми степени 2.

Для любого числа n фокусов n-эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую.^{[2]:(стр. 90)} Кривая является гладкой вне окрестностей фокуса.^[4]:стр.7

n-эллипс является подмножеством точек, удовлетворяющих определённому алгебраическому уравнению.^{[4]:Figs. 2 and 4; p. 7} Если n нечётно, алгебраическая степень кривой равна ${\displaystyle 2^{n}}$, если n чётно, степень равна ${\displaystyle 2^{n}-{\binom {n}{n/2}}}$.^{[4]:(Т. 1.1)}

• P.L. Rosin: "On the Construction of Ovals"
• B. Sturmfels: "The Geometry of Semidefinite Programming", pp. 9–16.