Arkus sinus

Arkus sinus
Osnovne osobine
Parnost	neparna
Domen	[-1,1]
Kodomen	[-π/2,π/2]
Specifične vrednosti
Nule	0
Specifične osobine
Prevoji	(0,0)
Ulazak u nulu pod uglom	π/4

Arkus sinus je funkcija inverzna sinusnoj funkciji na njenom ograničenom intervalu [-π/2,π/2]. Koristi se za određivanje veličine ugla u ovom opsegu, kada je poznata vrednost njegovog sinusa.

Slede neke od formula koje se vezuju za arkus sinus:

${\displaystyle \arcsin {-x}={\frac {\pi }{2}}-\arccos {x}}$ (pravilo komplementarnih uglova)

${\displaystyle \arcsin {-x}=-\arcsin {x}}$ (neparnost f-je)

${\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}=arccosec{x}}$

Preko formule za polovinu ugla se dobija i:

${\displaystyle \arcsin x=2arctg{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$

Izvod:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1}$

Predstavljanje u formi integrala:

${\displaystyle \arcsin x{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1}$

Predstavljanje u formi beskonačne sume:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

• Funkcija arkus sinus na wolfram.com