Hamiltonijan

Hamiltonijan je funkcija ili operator, u zavisnosti od toga da li se koristi u kontekstu klasične ili kvantne mehanike, koji je od centralnog značaja za opis vremenske evolucije u fizici.

U klasičnoj fizici Hamiltonijan je definisan kao Ležandrova transformacija lagranžijana. Naime, kako se uzima da je lagranžijan funkcija genralisanih koordinata, generalisanih brzina i vremena u situaciji u kojoj je pogodnije koristiti generalisane impulse potrebno je izvršiti transformaciju koja će dovesti do pojave tražene zavisnosti. Dotična transformacija je ležandrova transformacija i u njoj se zavisnost od generalisanih brzina smenjuje zavisnošću od generalisanih impulsa. Ona glasi

${\displaystyle H(q_{i},p_{i},t)=\sum _{k=1}^{n}p_{k}{\dot {q}}_{k}-L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}$

, gde ${\displaystyle i=1...n}$, n je broj stepeni slobode sistema, L lagranžijan sistema, a ${\displaystyle q_{i},{\dot {q}}_{i},p_{i},t}$ generalisane koordinate, generalisane brzine, generalisani impulsi i vreme respektivno. Ovo je istovremeno definiciona relacija za hamiltonijan. U slučaju kada je kinetička energija sistema homogena kvadratna funkcija generalisanih brzina hamiltonijan je jednak ukupnoj energiji sistema. Ovo je najčešći slučaj i hamiltonijan se često poistovećuje sa ukupnom energijom sistema.

Izražene preko hamiltonijana, jednačine kretanja sistema (koje se zovu Hamiltonove jednačine) glase

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}+Q_{i}^{nepot}}$

, gde ${\displaystyle Q_{i}^{nepot}}$ predstavlja nepotencijalne generalisane sile. Ove jednačine pružaju nekoliko pogodnosti, među kojima su: impulsi i koordinate figurišu simetrično u jednačinama i jednačine su diferencijalne jednačine prvog reda.

Hamiltonov formalizam u klasičnoj mehanici je takođe značajan zato što pokazuje analogije između klasične i kvantne mehanike.

U kvantnoj mehanici hamiltonijan je hermitski operator i pridružen je opservabli energije. Vremensku evoluciju kvantnog sistema diktira hamiltonijan preko Šredingerove jednačine

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial |\psi \rangle }{\partial t}}={\hat {H}}|\psi \rangle }$

, gde je ${\displaystyle {\hat {H}}}$ hamiltonijan, a${\displaystyle |\psi \rangle }$ stanje sistema.

Kako hamiltonijan predstavlja energiju, njegove svojstvene vrednosti predstavljaju moguće energije koje sistem može da poseduje. Svaka opservabla čiji operator komutira sa hamiltonijanom predstavlja održanu veličinu.