Konstantna funkcija

U matematici konstantna funkcija je funkcija čija je vrijednost ista za sve vrijednosto promjenljive.

Primjer

${\displaystyle y(x)=4}$

Funkcija ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$, koja preslikava skup ${\displaystyle A}$ u skup ${\displaystyle B}$ je konstantna funkcija ako za sve vrijednosti ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ iz ${\displaystyle A}$ važi: ${\displaystyle f(x)=f(y)}$, odnosno ako za sve vrijednosti domena daje uvijek istu vrijednost kodomena.^[1]

Kao realna funkcija konstantna funkcija ima opšti oblik

${\displaystyle y(x)=c}$ ili samo ${\displaystyle y=c}$.

• 
  Opšta konstantna funkcija
• 
  Konstantna funkcija ${\displaystyle z(x,y)=2}$
• 
  Konstantna polarna funkcija ${\displaystyle \varphi =2,5}$

Primjer

Funkcija

${\displaystyle y(x)=2}$ ili ${\displaystyle y=2}$ je specifična konstanta funkcija gdje je vrijednost funkcije ${\displaystyle c=2}$.

Domena funkcije je skup svih realnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Kodomena ove funkcije je samo ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2\end{Bmatrix}}}$. Odnosno

${\displaystyle y(0)=2}$

${\displaystyle y(2,5)=2}$

• Graf konstantne funkcije ${\displaystyle y=C}$ je horizontalna prava u ravni koja prolazi kroz tačku ${\displaystyle (0,c)}$. To je polinom stepena 0.
• Ne-nula konstantna funkcija je polinom stepena 0 i njegov opšti oblik je ${\displaystyle f(x)=c\ \,c\neq 0}$. Ova funkcija nema sjecište s x osom, to jest, nema nula.
• Polinom ${\displaystyle f(x)=0}$ je nula funkcija. To je trivijalna konstantna funkcija i svaki ${\displaystyle x}$ je nula funkcije. Njegov graf je x-osa u ravni.
• Konstantna funkcija je i funkcija čiji je graf simetričan u odnosu na y-osu.
• Konstantna funkcija je neprekidna, omeđena, parna, monotona, nema vertikalne ni kose asimptote te je sama sebi horizontalna asimptota u oba kraja.
• Konstantna funkcija ima izvod 0.

Pišemo

${\displaystyle (c)'=0}$.

Vrijedi i obrnuto

Ako ${\displaystyle y'(x)=0}$ vrijedi za sve realne brojeve x, onda je ${\displaystyle y(x)}$ je konstantna funkcija.

Odnosno

Ako je ${\displaystyle f}$ realna funkcija realne promenljive definisana na nekom intervalu, onda je ${\displaystyle f}$ konstantna ako i samo ako je njen izvod u svakoj tački ${\displaystyle 0}$.

Primjer

${\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}=>y(x)'=(-{\sqrt {2}})'=0}$

• Svaka konstantna funkcija čiji su domen i kodomen jednaki je idempotentne.
• Svaka konstantna funkcija među topoloških prostora je kontinualna.
• U povezanom skupu, funkcija je lokalno konstantna ako i samo ako je konstantna.

Kod polinomnih funkcija, svaka ne-nula konstantna polinomna funkcija se naziva polinomom nultog stepena.

Polinom ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$ je nula polinomom, ako su mu svi koeficijenti 0( nula), odnosno ${\displaystyle a_{i}=0}$, gdje je ${\displaystyle i=0,1,2,...,n}$.

Polinom ${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$ je konstantni polinomom, ako su ${\displaystyle a_{i}=0}$, gdje je ${\displaystyle i=1,2,...,n}$ tj. ako su mu svi koeficijenti osim ${\displaystyle a_{0}}$ bili nula, gdje ${\displaystyle a_{0}}$ može biti proizvoljno.

Prazna funkcija je funkcije čiji je domen prazan skup

${\displaystyle f_{A}:\varnothing \rightarrow A}$.

U literaturi može se naći definisanu kao konstantnu funkciju. Međutim, ako se ta funkcija posmatra u topološkim prostorima, dolazi do spornih pitanja treba li je definisati kao konstantnu funkciju ili ne.

Konstantna funkcija na Wikimedijinoj ostavi

• Constant Function
• constant function 21.03.2013 Arhivirano 2017-12-27 na Wayback Machine-u
• Konstantna funkcija

1. ↑ „konstantna funkcija 21.03.2013”. Arhivirano iz originala na datum 2017-12-27. Pristupljeno 2016-04-24.