Liouvilleova funkcija

Liouvilleova funkcija, označane sa λ(n) i koja je dobila naziv po Josephu Liouvilleu, je važna funkcija u teoriji brojeva.

Ako je n pozitivan cijeli broj, tada je λ(n) definisana kao:

λ ( n ) = ( − 1 ) Ω ( n ) , {\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},\,\!}

gdje je Ω(n) broj prostih faktora od n, brojenih sa multiplikativnosti. (SIDN A008836[mrtav link]).

λ je potpuno multiplikativna pošto je Ω(n) sabirljiva. Imamo Ω(1) = 0 i odatle λ(1) = 1. Liouvilleova funkcija zadovoljava identitet:

∑ d | n λ ( d ) = 1 {\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)=1\,\!} ako je n savršen kvadrat, i:
∑ d | n λ ( d ) = 0 {\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)=0\,\!} u ostalim slučajevima.

Red

Dirichletov red za Liouvilleovu funkciju daje Riemannovu zeta funkciju kao

ζ ( 2 s ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ λ ( n ) n s . {\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}

Lambertov red za Liouvilleovufunkciju je

∑ n = 1 ∞ λ ( n ) q n 1 − q n = ∑ n = 1 ∞ q n 2 = 1 2 ( ϑ 3 ( q ) − 1 ) , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}

gdje je ϑ 3 ( q ) {\displaystyle \vartheta _{3}(q)} teta funkcija.

Izvori

  1. Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
  2. Haselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141-145.
  3. Lehman, R., On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
  4. M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, 187-189, (1980).