Množenje
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Three_by_Four.svg/220px-Three_by_Four.svg.png)
Množenje je binarna operacija u matematici. Zapisuje se kao a · b ili a × b. [[Operandlli a i b se nazivaju činioci (faktori), a rezultat množenja proizvod.
Ako je jedan operand prirodan broj, onda množenje predstavlja skraćeni zapis sabiranja. Npr, ako je n ∈ ℕ, onda je
U algebri se oznaka za množenje podrazumeva i može se preskočiti, pa se 3 · a · b može zapisati i kao 3 a b
Inverzna operacija množenju je deljenje.
Množenje brojeva
Osobine
Množenje ima prioritet nad sabiranjem. Množenje brojeva ima sledeće osobine (za množenje drugih objekata pogledati niže u tekstu):
1. | (neutral) |
2. | (svaki broj pomnožen nulom jednak je nuli) |
3. | (asocijativnost) |
4. | komutativnost |
5. | distributivnost množenja prema sabiranju |
5. Na skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj, takav da je njihov proizvod jedinica:
Inverzan broj broja se zapisuje kao . Inverzan broj inverznog broja je polazni broj:
Množenje celih brojeva
Prilikom množenja celih brojeva, ako su oba istog znaka (oba pozitivna ili negativna), rezultat je pozitivan. Proizvod pozitivnog i negativnog broja je negativan.
Racionalni činioci
- Glavni članak: Racionalan broj
Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca činilaca, a imenilac proizvod imenilaca činilaca:
Iracionalni činioci
- Glavni članak: Realni brojevi
Neka je b ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj, tada je proizvod a · b granična vrednost
gde je racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja b.
Množenje kompleksnih brojeva
- Glavni članak: Kompleksni brojevi
Svaki kompleksan broj z možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom (polarnom) zapisu:
- .
Kako je , formula za množenje u algebarskom zapisu glasi
- .
Iz trigonometrijskih jednačina sledi formula za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:
Množenje vektora
- Glavni članak: Vektor
Postoji nekoliko vrsta množenja vektora: množenje vektora skalarom, skalarni, vektorski i mešoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora se obeležava sa „·“, a vektorski sa „ד.
Posmatrajmo vektor u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru: .
Množenje vektora skalarom
Vektor se množi skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna.
Skalarni proizvod
Skalarni proizvod vektora je skalar jednak sumi proizvoda odgovarajućih koordinata:
Skalarni proizvod je komutativan.
Vektorski proizvod
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Cross_product_vector.svg/220px-Cross_product_vector.svg.png)
Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-činioci zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-činioci definišu, a smer se definiše pravilom leve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za , i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice:
gde su i ortovi duž x, y i z ose, respektivno.
Mešoviti proizvod
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Parallelepiped_volume.svg/240px-Parallelepiped_volume.svg.png)
Mešoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao [a, b, c] i po definiciji je:
Množenje matrica
- Glavni članak: Matrica (matematika)
Neka su date matrice A i B veličine mA×nA i mB×nB, respektivno. Proizvod AB je definisan ako je nA = mB, a dobijena matrica ima dimenzije mA×nB. Elementi matrice-proizvoda su
Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator:
Povezano
- Deljenje
- Stepenovanje
- Tablica množenja
- Linearna funkcija
- Egipatsko množenje
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png)