Parnost funkcije
U matematici, parne funkcije i neparne funkcije su matematičke funkcije koje zadovoljavaju određene relacije simetričnosti. Važne su u metematičkoj analizi, posebni u teoriji stepenih redova i Furijeovih redova. Nazvane su po parnosti stepena njihovih stepenih redova koji zadovoljavaju svaki od uslova: funkcija xn je parna funkcija ako je n paran ceo broj, a neparna je funkcija ako je n neparan ceo broj.
Parne funkcije
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dd/Function_x%5E2.svg/220px-Function_x%5E2.svg.png)
Neka je f(x) realna funkcija realne promenljive. Onda je f parna funkcija ako sledeće jednačine važe za svako x u domenu funkcije f:
- .
Geometrijski, parna funkcija je simetrična u odnosu na y osu, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle refleksije oko y ose.
Primeri parnih funkcija su apsolutna vrednost, x2, x4, cos(x), i cosh(x).
Neparne funkcije
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Function_x%5E3.svg/220px-Function_x%5E3.svg.png)
Ponovo, neka je f(x) realna funkcija realne promenljive. Onda je f neparna funkcija ako sledeće jednačine važe za svako x u domenu funkcije f:
- .
Geometrijski, neparna funkcija je simetrična u odnosu na koordinatni početak, što znači da grafik funkcije ostaje nepromenjen posle koordinatne rotacije za 180 stepeni oko koordinatnog početka.
Primeri neparnih funkcija su x, x3, sin(x), i erf (x).
Neke činjenice
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Function_x%5E3%2B1.svg/220px-Function_x%5E3%2B1.svg.png)
Napomena: parnost funkcije ne implicira diferencijabilnost, niti čak neprekidnost funkcije. Svojstva koja uključuju Furijeove redove, Tejlorove redove, izvode itd. mogu se koristiti samo ako se pretpostavi da oni postoje.
Osnovna svojstva
- Jedina funkcija koja je u isto vreme i parna i neparna je konstantna funkcija jednaka nuli (tj. f(x) = 0 za svako x).
- Zbir parne i neparne funkcije nije ni parna ni neparna funkcija, osim ako jedna od te dve funkcije nije jednaka nuli.
- Zbir dve parne funkcije je parna funkcija, i rezultat svakog množenja parne funkcije konstantom je takođe parna funkcija.
- Zbir dve neparne funkcije je takođe neparna funkcija, i rezultat svakog množenja neparne funkcije konstantom je neparna funkcija.
- Proizvod dve parne funkcije je parna funkcija.
- Proizvod dve neparne funkcije je parna funkcija.
- Proizvod parne i neparne funkcije je neparna funkcija.
- Količnik deljenja dve parne funkcije je parna funkcija.
- Količnik deljenja dve neparne funkcije je parna funkcija.
- Količnik deljenja parne funkcije i neparne funkcije je neparna funkcija.
- Izvod parne funkcije je neparna funkcija.
- Izvod neparne funkcije je parna funkcija.
- Kompozicija dve parne funkcije je parna, a kompozicija dve neparne funkcije je neparna funkcija.
- Kompozicija parne i neparne funkcije je parna funkcija.
- Kompozicija bilo koje funkcije sa parnom funkcijom je parna funkcija (ali ne važi obratno).
- Integral neparne funkcije od -A do +A je nula (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A).
- Integral parne funkcije od -A do +A je dvostruko veći od integrala od 0 do +A (gde je A konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između -A i A).
Redovi
- Meklorenov red parne funkcije uključuje samo parne stepene.
- Meklorenov red neparne funkcije uključuje samo neparne stepene.
- Furijeov red periodične parne funkcije uključuje samo kosinusne članove.
- Furijeov red periodične neparne funkcije uključuje samo sinusne članove.
Algebarske strukture
- Svaka linearna kombinacija parnih funkcija je takođe parna funkcija, i parne funkcije formiraju vektorski prostor nad realnim brojevima. Isto tako, linearna kombinacija neparnih funkcija formira vektorski prostor nad realnim brojevima. U stvari, vektorski prostor svih realnih funkcija je direktna suma linearnih podprostora parnih i neparnih funkcija. Drugim rečima, svaka funkcija se može jedinstveno napisati kao suma parne i neparne funkcije:
- Parne funkcije formiraju K-algebru nad realnim brojevima. S druge strane, neparne funkcije ne formiraju K-algebru nad realnim brojevima.
Povezano
- Hermitijan funkcija za generalizaciju nad kompleksnim brojevima
- Tejlorov red
- Furijeov red