Oblasti u matematičkoj analizi |
Fundamentalna teorema Limes funkcije Kontinuitet Vektorska algebra Tenzor Teorem srednje vrijednosti |
Diferencijacija |
Derivacija proizvoda Derivacija količnika Derivacija složene funkcije Implicitna diferencijacija Taylorova teorema Tablica izvoda |
Integracija |
Spisak integrala Neodređeni integral Određeni integral Višestruki integral Nepravi integrali Parcijalna integracija Integracija metodom substitucije Trigonometrijska substitucija |
U matematici, pravilo derivacije proizvoda u kalkulusu (takođe se naziva i Leibnizov zakon; pogledajte članak derivacija), je pravilo diferenciranja proizvoda diferencijabilnih funkcija.
Zakon glasi:
ili direktno po Leibnizu:
Otkriće od strane Leibniza
Otkriće ovog pravila pripisano je Leibnizu, koji ga je dokazao koristeći diferencijale. Leibnizovi argumenti su bili sljedeći: Neka su u(x) i v(x) dvije diferencijabilne funkcije od x. Tada je diferencijal od uv
| |
| |
Pošto je (du)(dv) izanemarivo, Leibniz je zaključio da je
što je, uistinu, diferencijalna forma pravila izvoda proizvoda. Ako sve podijelimo sa diferencijalom dx, dobit ćemo
koje se može napisati i kao
Dokaz
Dokaz pravila izvoda proizvoda možemo dobiti koristeći se osobinama limesa i definicijom derivacije, kao limes Newtonovog diferencijalnog priraštaja.
Pretpostavimo
i da su i f ig diferencijabilne u fiksnom broju x. Tada je
Sada razlika
predstavlja površinu velikog pravougaonika minus površina drugog pravougaonika da donjoj ilustraciji.
Površina u obliku slova "L" može se podijeliti na dva pravougaonika
Zbog toga, izraz (1) jednak je
Ako sva četiri limesa iz (5) postoje, onda je izraz (4) jednak
Sada
jer f(x) ostaje konstanta kao w → x;
jer je g diferencijabilna u x;
jer je f diferencijabilna u x;
Na kraju je
jer je g neprekidna u x. Kako znamo da je g neprekidna u x? Jer druga teorema kaže da su diferencijabilne funkcije neprekidne.
Zaključujemo da je izraz (5) jednak
Povezano
- Pravilo izvoda količnika
- Pravilo izvoda složene funkcije
- Parcijalna integracija
- Diferencijal (analiza)
- Derivacija (apstraktna algebra)