Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori

U linearnoj algebri često je važno znati koji vektori imaju nepromijenjen smjer u datoj linearnoj transformaciji . Svojstveni vektor ili karakteristični vektor, eng. Eigenvector ( /ˈaɪɡən-/ EYE -gən- ) je takav vektor. Preciznije, svojstveni vektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$, linearne transformacije ${\displaystyle T}$ skalira se konstantnim faktorom ${\displaystyle \lambda }$ kada se linearna transformacija primjenjuje na njega: ${\displaystyle T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$ . Odgovarajuća svojstvena vrijednost , karakteristična vrijednost ili karakteristični korijen je faktor množenja ${\displaystyle \lambda }$ . Na engleskom se svojstvena vrijednost još i naziva Eigenvalue

Geometrijski gledano, vektori su višedimenzionalni elementi koji imaju veličinu i smer, i često se vizuelno prikazuju kao strelice. Linearna transformacija rotira, rasteže ili smiče vektore na koje djeluje. Sopstveni vektori su oni vektori koji su samo rastegnuti, na njih ne utiče rotacija ni smicanje. Odgovarajuća svojstvena vrijednost je faktor kojim se svojstveni vektor rasteže ili stisne. Ako je svojstvena vrijednost negativna, smjer svojstvenog vektora je obrnut. ^[1]

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti linearne transformacije služe da opišu tu linearnu transformaciju, te stoga igraju važnu ulogu u svim područjima gdje se primjenjuje linearna algebra, od geologije do kvantne mehanike . Konkretno, čest je slučaj da je neki sistem predstavljen određenom linearnom transformacijom ( sistem povratne informacije ). U tom slučaju je izlaz takvog sistema, i ulaz u istu linearnu transformaciju u sledećoj iteraciji. U takvoj aplikaciji najveća svojstvena vrijednost je od posebne važnosti, jer ona upravlja dugotrajnim ponašanjem sistema, nakon mnogih primjena linearne transformacije, a pripadajući svojstveni vektor je stabilno stanje sistema.

Razmotrimo matricu A i vektor različit od nule ${\displaystyle \mathbb {v} }$ . Ako se primenjivanjem A na ${\displaystyle \mathbb {v} }$ (označeno sa ${\displaystyle A\mathbb {v} }$ ), skalira ${\displaystyle \mathbb {v} }$ sa faktorom λ, gdje je λ skalar, tada ${\displaystyle \mathbb {v} }$ je svojstveni vektor od A, a λ je odgovarajuća svojstvena vrijednost. Ovaj odnos se može izraziti kao: ${\displaystyle A\mathbb {v} =\lambda \mathbb {v} }$ . ^[2]

Postoji direktna korespondencija između n x n kvadratnih matrica i linearnih transformacija iz n -dimenzionalnog vektorskog prostora, s obzirom na bilo koju bazu vektorskog prostora. Dakle, u konačnodimenzionalnom vektorskom prostoru, ekvivalentno je definirati svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore koristeći ili jezik matrica, ili jezik linearnih transformacija. ^{[3] [4]}

Ako V ima konačnu dimenzionalnost, gornja jednadžba je ekvivalentna $${\displaystyle A\mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} ,}$$

gdje je A matrična reprezentacija T i u je koordinatni vektor od v .

1. ↑ Burden & Faires 1993 sfn error: no target: CITEREFBurdenFaires1993 (help)
2. ↑ Gilbert Strang. „6: Eigenvalues and Eigenvectors”. Introduction to Linear Algebra (5 izd.). Wellesley-Cambridge Press. 
3. ↑ Herstein 1964 sfn error: no target: CITEREFHerstein1964 (help)
4. ↑ Nering 1970 sfn error: no target: CITEREFNering1970 (help)